Baustelle:Unendliche Objekte

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In der projektiven Geometrie werden homogene Koordinaten genutzt, um die euklidische Ebene ohne Nullpunkt in den 3 zu integrieren. Hierbei spielen insbesondere die unendlichen Objekte Fernpunkte und Ferngeraden eine große Rolle. [1]

Fernpunkte

Fernpunkte sind Vektoren der Form T, die nicht mit Punkten der euklidischen Ebene identifizierbar sind. Um dennoch eine Interpretation herleiten zu können, werden Äquivalenzklassen betrachtet.

Herleitung

Sei Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle P(t)=(x·t,y·t,1)} T ein Vektor, der mittels der Dehomogenisierung Abbildung.png dem Punkt Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle (x·t,y·t)} T der euklidischen Ebene zugeordnet werden kann. Da in der projektiven Geometrie skalare Vielfache miteinander identifiziert werden können, gilt Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle [P(t)]=[(x·t,y·t,1)} TT]. Der Grenzwert Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle t→∞} entspricht hierbei - anschaulich gesprochen - folgender Situation: Der Punkt bewegt sich auf einer Geraden, deren Richtung durch x und y festgelegt ist, in der Ebene immer weiter vom Ursprung weg.

In Darstellung der homogenen Koordinaten giltAbbildung2.png. Also repräsentieren alle Vektor der Form T unendlich weit entfernte Punkte, die sogenannten Fernpunkte. Diese können mit Richtungen von Geraden der euklidischen Ebene identifiziert werden, wobei andersherum für jede Geradenrichtung einen Fernpunkt existiert.

Ferngeraden

Alle Fernpunkte T liegen auf einer gemeinsamen Geraden: der Ferngeraden T.

Erklärung

Auf jeder Geraden T mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle (a,b)≠(0,0)} liegt ein Fernpunkt T, denn es gilt

für und . Dieser Fernpunkt T ist sogar der einzige Fernpunkt auf der Geraden g. Für die Ferngerade T gilt für jeden Fernpunkt l, also liegen alle Fernpunkte auf der Ferngeraden .

  1. Orendt, Thorsten; Richter-Gebert, Jürgen (2009): Geometriekalküle. Berlin, Heidelberg: Springer. Seite 2-6.