Digitale Struktur der Mathematik
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Mathematik-Übersicht
Geometrie/Grafik Algebra
Gerade- Kreis- Zahlen- Funktionslehre
Kombin. Strahlen- Einzel- Systemlösungen:
Symmetrie Nullstellen- 1. Einsetzungs-/Gleichsetzungs-
2. Summen-"Verfahren
Einheit der Gegensätze
Um die Einfachheit der komplexen Mathematik verstehen zu können, müssen wir dahinter schauen und diese einfache, sich ständig auf gleiche Weise wiederholenden Vorgänge und Sachverhalte auch den Schülern vermitteln! Nur mit dieser hintergründigen Lehrweise können Schüler diese Wissenschaft wirklich begreifen!
Es werden falsche Akzente gesetzt, wenn unter Geometrie Formen berechnet werden, denn das ist ja Algebra! Man muss von Anfang an beide Seiten aufzeigen, die zu einundderselben Medaille gehören:
Eine geometrische Form, die Grafik, ist nur der bildhafte Ausdruck einer Rechnung der Algebra.
3 * 4 = 12 ist ein Rechteck (Fläche und seine Seiten, später Skalar aus Skalarprodukt) oder auch eine Zahlenvergrößerung, grafisch 3facher Zahlenpfeil 4, später S-Produkt oder Elementarvektor, je nachdem, in welcher Anwendung wir es gebrauchen wollen.
Symmetrie ist der zentrale Begriff in der Geometrie für seine gegensätzlichen Operationen Verschiebung(Gerade-) und Drehung, Umklappung (Kreis-) sowie deren Kombination Zentralstreckung(Zoomen, Strahlensymmetrie) und weiterer Affinitäten!
Zahlen(form)-Gegensätze
Grundrechnung: 5 <=> -5, warum? Ergänzung(Zählanfang): 0 + 5 <=> 0-5
Punktrechnung: 5 <=> 1/5 warum? Ergänzung(Zählanfang): 1 * 5 <=> 1/5
- 5^2 <=> 2.Wurzel(5^2)
Einheit der Gegenrechenarten und
Einheitlicher Lösungsweg
Die Umformung ist der wichtigste Bestandteil (80%) der Mathematik, denn nur 20% ist "Rechnen" im Sinn von Verrechnen! Deshalb ist in der nachfolgenden Analysis-Übersicht neben dem einzigen einheitlichem Lösungsweg
Glieder umformen (zerlegen, differenzieren) zur Gleichartigkeit, denn nur gleichartige können zusammengefasst (verrechnet, integriert) werden zur Lösung
auch die 6 Rechenarten einmal vollständig ineinander umgeformt (spezielle Potenz und Wurzel -> die Exponentialform und Logarithmus ausgenommen).
Wenn die Schüler eine Wurzel über Bruch, Differenz, Summe, Produkt und zur Potent hoch umgeformt haben, dann beherrschen sie auch das wichtigste Grundrechengesetz von der doppelten Negation!
Digitale Struktur der Funktionslehre
http://madipedia.de/images/6/67/M_-_Funktionen%C3%BCbersicht.pdf
Das Fazit der vorliegenden Erkenntnisse sollte ein sachkomplex logisch aufbauender Lehrplan sein, der den Lehrern die Möglichkeit bietet, auch immanent die beschriebenen Querverbindungen hinter der Mathematik lehren zu können und den Schülern nur so den Lehrstoff begreifbar zu machen. Mit einer nur 2monatigen Einführung in hintergründigen logischen Zusammenhänge benötigen meine ("Hilfs-")Schüler keine weitere Hilfe und steigern selbständig stets ihre Leistungen! Hier der didaktische Aufbau:
Digitale Struktur der Mathematik
Inhaltsverzeichnis
Die Besonderheit des Lehrbuches und sein Gebrauch . . . . . . . 7
(Neuartigkeit der Lernmethodik und der Lernintensität)
Einführung (Das einfache Wesen der Mathematik) . . . . . . . 10
Mathematik -Übersicht . . . . . . . . . . . . 12
1. Algebra 1 - Arithmetik - Rechnen mit ganzen Zahlen (1. - 4.Klasse) . . . 13
1.1 Ziffern, Zahlen und Symbole . . . . . . . . . 13
1.2 Grundrechnung: Zusammenzählen (Summe) und Abziehen (Differenz) 14
1.2.1 Die grundlegende Rechenlösung . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Das Aufspalten / Zerlegen von Zahlen - Ergänzungszahlen . . . . . 15
1.2.3 Mehrfachsummen und Mehrfachdifferenzen - Übertrag und Borgen . . . 17
1.2.4 Die 3 grundlegenden Rechenregeln . . . . . . . . . 17
1.3 1. Rechen-Spezialfall: Multiplizieren (Produkt) und Teilen (Bruch) . . 19
1.3.1 Das Vervielfachen - das „Kleine 1 mal 1“, Klammern und große Zahlen . . 19
1.3.2 Das Teilen auf ganze Zahlen - der ganzzahlige Bruch . . . . . 22
1.4 Größen, Vorsätze und Einheiten . . . . . . . . . . 23
1.5 Sachaufgaben . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Algebra 1 - Übersicht . . . . . . . . . . . . 25
2. Geometrie 1 - Übersicht - Geometrische Figuren (1. - 4. Klasse) 26
3. Algebra 2 - Arithmetik - Rechnen mit gebrochenen Zahlen (5. - 7.Klasse) 27
3.1 Zahlenarten und Zahlensysteme . . . . . . . . . . 28
3.2 Zahlen- bzw. Größenvergleiche und Proportionalität . . . . 29
3.2.1 Aufbereiten und Vergleichen (Tabellen und Grafen/Diagramme) . . . . 29
3.2.2 Größenverhältnisse, die Proportionalität . . . . . . . . 31
3.3 Vielfache und Teiler (Produkt und Bruch, Erweiterung von 1.3) . . . 33
3.4 Primzahlen / Primfaktoren (2. Schreibform der ganzen Zahl) . . . . 34
3.5 Die gebrochene Zahl und ihre 4 elementaren Darstellungen . . . 35
3.5.1 Die Kommazahl . . . . . . . . . . . . . 35
3.5.2 Der gemeine Bruch . . . . . . . . . . . . 35
3.5.3 Der gemischte Bruch . . . . . . . . . . . . 36
3.5.4 Der Prozentausdruck . . . . . . . . . . . . 36
3.6 Die Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . 37
3.6.1 Das Erweitern: Das kgV - Voraussetzung für Summe und Differenz . . . 37
3.6.2 Das Kürzen: Der ggT - der größte gemeinsame Teiler . . . . . . 38
3.6.3 Das Umformen und die Grundrechnung (Summe/Differenz) von Brüchen . 39
3.6.4 Das Multiplizieren und Teilen von Brüchen . . . . . . . . 40
3.6.5 Der Hundertstel-Bruch: Die Prozentrechnung. . . . . . . . 40
3.6.6 Übungen: Zahlenumformungen und Kopfrechnen . . . . . . . . 43
3.7 Algebra 2 - Übersicht . . . . . . . . . . . . 45
4. Geometrie 2 - Grundbeziehungen Flächen und Körper (5. - 7. Klasse) 47
4.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Planimetrie - Figuren der Ebene (Geraden und Flächen) . . . . . 49
4.2.1 Symmetrie (Gleichmaß) . . . . . . . . . . . 49
4.2.2 Grundkonstruktionen an der Geraden . . . . . . . . 50
4.2.3 Winkelkunde . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.4 Dreiecke und Kongruenz . . . . . . . . . . . 53
4.2.5 Vierecke . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.6 Vielecke / Polygone à Kreis . . . . . . . . . . . 57
4.3 Stereometrie - Figuren im Raum (Körper) . . . . . . . . 59
4.3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . 59
4.3.2 Quader und Würfel . . . . . . . . . . . . 60
4.3.3 Prisma und Zylinder . . . . . . . . . . . . 61
4.3.4 Pyramide und Kegel . . . . . . . . . . . . 61
4.3.5 Polyeder mit Grenzfall Kugel . . . . . . . . . . 62
4.3.6 Konstruktionen und Darstellungen . . . . . . . . . 63
5. Analytische Algebra (Analysis) - Funktionstheorie (Kl. 8 - 10) 64
5.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 2. Rechen-Spezialfall: Potenz und Wurzel bzw. Logarithmus . . . . 67
5.2.1 Potenzieren (Potenz mit ganzem Exponenten). . . . . . . . 67
5.2.2 Wurzel ziehen (Radizieren; Potenz mit gebrochenem Exponenten) . . . . 69
5.2.3 Die Exponentialform der Potenz und ihr Logarithmus (gesuchter Exponent) . 71
5.3 Ungleichungen - Zahlenvergleich und Lösungsmenge (Wertebereich) . . 75
5.4 Gleichungen, Funktionen und Systeme . . . . . . . . . 75
5.4.1 Begriffsbestimmungen . . . . . . . . . . . 75
5.4.2 Die lineare Funktionsgleichung (1. Grades) . . . . . . . 78
5.4.3 Die quadratische Funktionsgleichung (2. Grades) . . . . . . 83
5.4.4 Die Quadratwurzel-Funktion. . . . . . . . . . . 85
5.4.5 Die kubische und die Kubikwurzel-Funktion (3. Grades) . . . . . 86
5.4.6 Die Hyperbel-Funktion (negativer Exponent, Bruch-Funktion . . . . 87
5.4.7 Die Exponential- und die Logarithmus-Funktion (gesuchter Exponent) . . 87
5.4.8 Funktionen - Übersicht . . . . . . . . . . . . 88
5.5 Termumformungen („Termberechnungen“) . . . . . . . . . 91
5.5.1 allg. Summenbildung (∑, ) und Differenzverhältnisse (Ç, d, dy/dx) . . . 91
5.5.2 Produkte und Potenzen von Summen (Binom. Formel, quadr. Ergänzung) . . 92
5.5.3 Das Teilen von Summen (die Polynomendivision, nur Gymnasium) . . . 93
5.6 Wahrscheinlichkeitslehre I - Grundlagen: Statistik und Stochastik . . 94
5.6.1 Begriffsbestimmungen. . . . . . . . . . . . 94
5.6.2 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . 97
5.6.3 Einstufige Vorgänge - unbedingte Wahrscheinlichkeit P(E) . . . . . 99
5.6.4 Mehrstufige Vorgänge - bedingte Wahrscheinlichkeit PE2(E1). . . . . 100
6. Analytische Geometrie - Darstellungen und Funktionen (Kl. 8 – 10) 102
6.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2 Ähnlichkeitsbetrachtungen (Streckenproportionalitäten). . . . . 103
6.2.1 Streckenverhältnisse - Teilung und Streckung . . . . . . 103
6.2.2 Zentralstrahlen- und ihre Schnittparallelen - Praxis: Vermessung, Zoomen . . 105
6.3 Beziehungen am rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . 106
6.3.1 Dreiecke im Halbkreis: „Satz des Thales“ . . . . . . . 106
6.3.2 Die Flächensätze: „Satz des Pythagoras“ und Kathetensatz, Höhensatz . . . 106
6.3.3 Winkel-Funktionen und ihre Umkehrung Arkus informativ) . . . . . 107
6.4 Beziehungen am allgemeinen Dreieck (Sinus- und Kosinussatz) . . . 111
6.5 Beziehungen am Kreis: (Tangente, Sekante, Sehne, Sektor, Segment) . . 112
6.5.1 Begriffsbestimmungen . . . . . . . . . . . 112
6.5.2 Winkel- und Sehnen-/Tangentenbeziehungen . . . . . . . 112
6.5.3 Berechnungen am Kreis . . . . . . . . . . . 113
6.6 Darstellende Geometrie (Projektionen / Abbildungsformen) . . . . . 114
6.7 Koordinatengeometrie (Geraden und Flächen im Koordinatensystem) . . 117
7. Analytische Algebra (Analysis) - Funktionstheorie (Abiturstufe) 119
7.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . 119
7.2 Funktionsklassifizierungen und Ergänzungen . . . . . . . 122
7.2.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . 122
7.2.2 Funktionsarten und ihr Wesen nach . . . . . . . . . 123
a) Rechenglied: Potenz-, Bruch-(Winkel-) und Summenfunktionen . . . 123
b) Kurvencharakter: stetige, monotone, . . . . . . . . . 123
beschränkte, umkehrbare, konvergierende, gerade/ungerade, periodische . . 124
7.2.3 Exponential- und Logarithmen-Funktionen (Spezialisierung von 5.2.3 u. 5.4.7) 126
7.2.4 Winkel- und Arkus (Bogen-)Funktionen, Hyperbolis und Area (nur Deutung) 126
7.2.5 Funktionsvereinfachungen, Lösungshilfen (Ergänzung Termumf. 5.5) . . 127
7.2.5.1 Substitution (Ersetzen) . . . . . . . . . . 127
7.2.5.2 Faktorisierung, Linearfaktorzerlegung - Polynomdivision . . . . 128
7.2.5.3 Lösungen für x-beliebige Funktionswerte y@0 (nicht Nullstelle!). . . 130
7.2.5.4 Zerlegen in Teilfunktionen (Lösung nicht möglich oder zu kompliziert) . . 131
7.2.5.5 Verkettete Funktionen (Terme mit innerer und äußerer Funktion) . . . 131
7.3 Folgen, Reihen, Partialsummen und Grenzwerte . . . . . . . 132
7.3.1 Folgen, rekursive und explizite Schreibform . . . . . . . 132
7.3.2 Reihen, Partialsummen und Partialsummenfolgen. . . . . . . 133
7.3.3 Monotonie und Grenzwerte mit Konvergenz an Asymptoten . . . . . 135
7.4 Differenzialrechnung (Funktion untersuchen à Kurvenanstieg) . . . . 138
7.4.1 Grundlage Differenzial und Integral . . . . . . . . . 138
7.4.2 Ableitungsregeln (s. Potenz„regeln“) . . . . . . . . . 139
7.4.3 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . 141
7.4.4 Komplexaufgaben . . . . . . . . . . . . 145
7.5 Integralrechnung (Unterfunktionen zusammensetzen à Flächensumme) . . 146
7.5.1 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . 146
7.5.2 Unbestimmtes und bestimmtes Integral . . . . . . . . . 147
7.5.3 Integral einer Funktion (zur x-Achse) . . . . . . . . 147
7.5.4 Integral zwischen 2 Funktionen . . . . . . . . . 147
7.5.5 Anwendungsaufgaben . . . . . . . . . . . . 148
7.5.6 Weitere „Integrationsverfahren“ . . . . . . . . . 149
7.6 Lineare Gleichungssysteme mit Matrizen (u.a. zerlegte Vektoren) . . 151
7.6.1 Begriffsbestimmungen . . . . . . . . . . . . 151
7.6.2 Gaußsches Verfahren (Summenverfahren mit Matrix) . . . . . . 152
7.6.3 Cramersche-Regel (Einsetzungsverfahren über Determinanten/Matrixwerten) 155
7.6.4 Rechnen mit mehreren Matrizen (Summe, Differenz, Produkt) . . . . . 158
7.7 Rechnen mit komplexen Zahlen (in Physik und Elektrotechnik) . . . 159
7.8 Beweisverfahren „vollständige Induktion“, direkter und indirekter Beweis . 160
7.9 Wahrscheinlichkeitslehre II (Spezifische Ergänzungen zu 5.6) . . . 161
7.9.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . 161
7.9.2 Einstufiger Vorgang (Tabelle, Baumdiagramm, Mehrfeldtafel, Verteilungen . 164
7.9.3 Mehrstufiger Vorgang . . . . . . . . . . . 169
8. Analytische Geometrie - Darstellungen und Funktionen (Abiturstufe) 170
8.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . 170
8.2 Koordinatengeometrie . . . . . . . . . . . 171
8.2.1 Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten . . . . . . 171
8.2.2 Geraden, ihre Schreibformen und Lagebeziehungen . . . . . . 171
8.2.3 Der Kreis (Schnittfigur Kugel) - Lage zu anderen Kreisen und Geraden . . 172
8.2.4 Die Kugel und ihre Lage zur Geraden bzw. Ebene . . . . . . 174
8.2.5 Ellipse und Parabel (Schnittfiguren Kegel) . . . . . . . 174
8.2.6 Hyperbel und Asymptoten . . . . . . . . . . 175
8.2.7 Kongruente, ähnliche und affine Abbildungen (projektive Geometrie) . . 176
8.3 Koordinatengeometrie mit Vektoren (Normal- und Matrizen-Form) . 178
8.3.1 Grundbegriffe und Einteilungen . . . . . . . . 178
8.3.2 Grundoperationen . . . . . . . . . . . . 181
8.3.3 Umformungen und Matrizenrechnung . . . . . . . . 184
8.3.4 Darstellung und Schreibformen von Geraden und Ebenen . . . . . 187
8.3.5 Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen. . . . . . 188
8.3.5.1 Lage eines Punktes zur Geraden bzw. Ebene . . . . . . . 188
8.3.5.2 Lage zweier Geraden zueinander . . . . . . . . . 188
8.3.5.3 Lage von Geraden zur Ebene . . . . . . . . . . 189
8.3.5.4 Lage zweier Ebenen zueinander . . . . . . . . . 189
8.3.5.5 Teilungsverhältnisse und Figurengeraden . . . . . . . 190
8.3.6 Darstellung und Lagebeziehungen von Kreisen und Kugeln . . . . 191
8.3.6.1 Darstellung von Kreisen und Kugeln . . . . . . . . . 191
8.3.6.2 Lage von Kreis und Geraden . . . . . . . . . . 191
8.3.6.3 Lage von Kugel und Ebene . . . . . . . . . . . 192
8.3.7 Abbildungsmatrizen (Vektorform zu 8.2.7) . . . . . . . 193
Begriffsbestimmungen . . . . . . . . . . . 200