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==Übersicht <small><small><ref>Die gesamte Darstellung basiert auf [Hischer 2012, Kapitel 4 und 5].</ref></small></small>==

==Übersicht <small><small><ref>Die Darstellung basiert auf [Hischer 2012, Kapitel 4 und 5].</ref></small></small>==

Der Terminus „Relation“ wird in der heutigen Mathematik im Sinne von „Beziehung“ (und damit als „[[Zuordnung]]“) verwendet. <ref>Diese Deutung von „Relation“ als „Beziehung“ geht auf die in der Logik (als einer philosophischen Disziplin) übliche Bedeutung zurück, während das lateinische „relatio“ zunächst nur „Bericht(erstattung)“ oder „Vortrag“ bedeutete.</ref> Im einfachsten Fall wird es im mathematischen Kontext darum gehen, „Beziehungen“ zwischen zwei Mengen (genauer: zwischen den Elementen von zwei Mengen, etwa <math>A</math> und <math>B</math> genannt) zu beschreiben, also darum, ob und wie <math>a</math> zu <math>b</math> „in Beziehung steht“, falls <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> gilt. Eine solche Relation kann z. B. durch eine Gleichung wie <math>{{a}^{2}}=2b-1</math> oder eine Ungleichung wie <math>3a<2\sqrt{b}</math> beschrieben werden.<br />

Der Terminus „Relation“ wird in der heutigen Mathematik im Sinne von „Beziehung“ (und damit als „[[Zuordnung]]“) verwendet. <ref>Diese Deutung von „Relation“ als „Beziehung“ geht auf die in der Logik (als einer philosophischen Disziplin) übliche Bedeutung zurück, während das lateinische „relatio“ zunächst nur „Bericht(erstattung)“ oder „Vortrag“ bedeutete.</ref> Im einfachsten Fall wird es im mathematischen Kontext darum gehen, „Beziehungen“ zwischen zwei Mengen (genauer: zwischen den Elementen von zwei Mengen) zu beschreiben, also darum, ob und wie <math>a</math> zu <math>b</math> „in Beziehung steht“, falls <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> gilt. Eine solche Relation kann z. B. durch eine Gleichung wie <math>{{a}^{2}}=2b-1</math> oder eine Ungleichung wie <math>3a<2\sqrt{b}</math> beschrieben werden.<br />

Sofort ist ersichtlich, dass eine konkrete, etwa mit <math>R</math> bezeichnete Relation dann zutreffend durch die Angabe derjenigen geordneten Paare <math>(a,b)</math> aus der „Produktmenge“ <math>A\times B</math> gekennzeichnet werden kann, die hier „in Beziehung stehen“. Das führt dazu, jede Teilmenge einer solchen Produktmenge <math>A\times B</math> als eine ''„Relation zwischen <math>A</math> und <math>B</math>“'' – oder genauer: als eine ''„Relation von <math>A</math> nach <math>B</math>“'' – aufzufassen.<br />

Sofort ist ersichtlich, dass eine konkrete, etwa mit <math>R</math> bezeichnete Relation dann zutreffend durch die Angabe derjenigen geordneten Paare <math>(a,b)</math> aus der „Produktmenge“ <math>A\times B</math> gekennzeichnet werden kann, die hier „in Beziehung stehen“. Das führt dazu, jede Teilmenge einer solchen Produktmenge <math>A\times B</math> als eine ''„Relation zwischen <math>A</math> und <math>B</math>“'' – oder genauer: als eine ''„Relation von <math>A</math> nach <math>B</math>“'' – aufzufassen.<br />

Da eine solche „Relation“ als Menge von geordneten Paaren aber ihre Zusammensetzung und Struktur nicht verliert, wenn man in <math>A\times B</math> anstelle von <math>A</math> und <math>B</math> beliebige Obermengen wählt, liegt es nahe, bereits diese Menge von geordneten Paaren als „Relation“ zu bezeichnen, also ohne die Angabe einer bestimmten Produktmenge <math>A\times B</math> als Bezugsmenge. Beide Wege sind sinnvoll und jeweils situativ zu wählen.

Da eine solche „Relation“ als Menge von geordneten Paaren aber unverändert bleibt, wenn man in <math>A\times B</math> anstelle von <math>A</math> und <math>B</math> beliebige Obermengen wählt, liegt es nahe, bereits diese Menge von geordneten Paaren als „Relation“ zu bezeichnen, also ohne die Angabe einer bestimmten Produktmenge <math>A\times B</math> als Bezugsmenge. Beide Wege sind sinnvoll und jeweils situativ zu wählen.

==Definitionen==

==Definitionen==

===Grundlegende Definitionen===

===Grundlegende Definitionen===

Der formalmathematischen Definition von „Relation“ liegt das „geordnete Paar“ zugrunde, etwa mit <math>(a,b)</math> bezeichnet, wobei es auf die Reihenfolge der beiden „Elemente“ ankommt (im Gegensatz zur mit <math>\{a,b\}</math> bezeichneten Menge). In diesem Sinne kann man die Darstellung <math>(a,b)</math> als unmittelbar einsichtig im Sinne eines undefinierten Grundbegriffs verwenden. Immerhin gelang es dem polnischen Mathematiker [http://de.wikipedia.org/wiki/Kazimierz_Kuratowski Kazimierz '''Kuratowski''']) 1921, das „geordnete Paar“ mengentheoretisch zu definieren. Dieser formale Aufbau wird kurz angedeutet:

Der formalmathematischen Definition von „Relation“ liegt das „geordnete Paar“ zugrunde, etwa mit <math>(a,b)</math> bezeichnet, wobei es auf die Reihenfolge der beiden „Elemente“ dieses Paares ankommt (im Gegensatz zur mit <math>\{a,b\}</math> bezeichneten Menge). In diesem Sinne kann man die Darstellung <math>(a,b)</math> als unmittelbar einsichtig im Sinne eines undefinierten Grundbegriffs verwenden. Immerhin gelang es dem polnischen Mathematiker [http://de.wikipedia.org/wiki/Kazimierz_Kuratowski Kazimierz '''Kuratowski''']) 1921, das „geordnete Paar“ mengentheoretisch zu definieren. Dieser formale Aufbau wird kurz angedeutet:

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Für binäre Relationen wird folgende '''Schreibweise''' vereinbart:: <math>xRy:\Leftrightarrow (x,y)\in R</math>

Für binäre Relationen wird folgende '''Schreibweise''' vereinbart:: <math>xRy:\Leftrightarrow (x,y)\in R</math>

===<div id="Spezielle Relationen"></div>Spezielle Relationseigenschaften und spezielle Relationen <small><small><ref>Erläuterungen und Veranschaulichungen dazu in [Hischer 2012, 181 ff.]</ref></small></small>===

===<div id="Spezielle Relationen"></div>Spezielle Relationseigenschaften und spezielle Relationen <small><small><ref>Veranschaulichungen und weitetre Erläuterungen dazu in [Hischer 2012, 181 ff.]</ref></small></small>===

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! Definitionen !! Anmerkungen

! Definitionen !! Anmerkungen

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| ''Voraussetzung:'' <math>M,R</math> {{sp}} seien Mengen, {{sp}} <math>R\ne \varnothing</math> {{sp}} und {{sp}} <math>R\subseteq M\times M</math>. || ''Die nachfolgenden Erläuterungen deuten {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} als einen „'''Pfeil''' von {{sp}} <math>x</math> {{sp}} nach {{sp}} <math>y</math>“''.

| ''Voraussetzung:'' <math>M,R</math> {{sp}} seien Mengen, {{sp}} <math>R\ne \varnothing</math> {{sp}} und {{sp}} <math>R\subseteq M\times M</math>. || ''Die nachfolgenden Erläuterungen deuten {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} als einen „'''Pfeil''' von {{sp}} <math>x</math> {{sp}} nach {{sp}} <math>y</math> “''.

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| <math>R</math> {{sp}} ist '''symmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math>, {{sp}} dann {{sp}} <math>yRx</math>.  || Wenn eine Verbindung, dann in beiden Richtungen (keine Einbahnstraßen; ungerichteter Graph).

| <math>R</math> {{sp}} ist '''symmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math>, {{sp}} dann {{sp}} <math>yRx</math>.  || Wenn eine Verbindung, dann in beiden Richtungen: also keine Einbahnstraßen (ungerichteter Graph).

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| <math>R</math> {{sp}} ist '''asymmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math>, {{sp}}  dann {{sp}} '''nicht''' {{sp}} <math>yRx</math>. || Wenn eine Verbindung, dann nur in einer Richtung; nirgends Schleifen (höchstens Einbahnstraßen, gerichteter Graph).

| <math>R</math> {{sp}} ist '''asymmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math>, {{sp}}  dann {{sp}} '''nicht''' {{sp}} <math>yRx</math>. || Wenn eine Verbindung, dann nur in einer Richtung: nirgends Schleifen, also höchstens Einbahnstraßen (gerichteter Graph).

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| <math>R</math> {{sp}} ist '''identitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} und {{sp}} <math>yRx</math>, {{sp}} dann {{sp}} <math>x=y</math>. || Verbindung zwischen ''verschiedenen'' Punkten nur in einer Richtung; Schleifen möglich. <ref>Statt „identitiv“ ist auch die Bezeichnung „antisymmetrisch“ üblich, was aber nicht mit „asymmetrisch“ verwechselt werden darf.</ref>

| <math>R</math> {{sp}} ist '''identitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} und {{sp}} <math>yRx</math>, {{sp}} dann {{sp}} <math>x=y</math>. || Verbindung zwischen ''verschiedenen'' Punkten nur in einer Richtung: Schleifen möglich. <ref>Statt „identitiv“ ist auch die Bezeichnung „antisymmetrisch“ üblich, was aber nicht mit „asymmetrisch“ verwechselt werden darf.</ref>

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| <math>R</math> {{sp}} ist '''transitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y,z:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} und {{sp}} <math>yRz</math>, {{sp}} dann {{sp}} <math>xRz</math>. || Wenn eine mittelbare Verbindung, dann eine direkte (Existenz von Überbrückungspfeilen).

| <math>R</math> {{sp}} ist '''transitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y,z:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} und {{sp}} <math>yRz</math>, {{sp}} dann {{sp}} <math>xRz</math>. || Wenn eine mittelbare Verbindung, dann auch eine unmittelbare (also direkte und damit kürzeste): Existenz von Überbrückungspfeilen.

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| <math>R</math> {{sp}} ist '''reflexiv in '''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x \in M:</math> {{sp}} <math>xRx</math>. || Überall Schleifen.

| <math>R</math> {{sp}} ist '''reflexiv in '''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x \in M:</math> {{sp}} <math>xRx</math>. || Überall Schleifen.

| <math>R</math> {{sp}} ist '''irreflexiv in '''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x \in M:</math> {{sp}} '''nicht''' {{sp}} <math>xRx</math>. || Nirgends Schleifen.

| <math>R</math> {{sp}} ist '''irreflexiv in '''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x \in M:</math> {{sp}} '''nicht''' {{sp}} <math>xRx</math>. || Nirgends Schleifen.

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| <math>R</math> {{sp}} ist '''konnex in '''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y \in M:</math> {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} oder {{sp}} <math>yRx</math>. || Zwischen je zwei Punkten mindestens eine Verbindung; überall Schleifen. <ref>Statt „konnex“ sind auch die Bezeichnungen „total“ oder „vergleichbar“ üblich. Mit „konnex“ wird das lateinische „conecto“ für „Verbindung“ (hier also als „verbindend“) erfasst.</ref>

| <math>R</math> {{sp}} ist '''konnex in '''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y \in M:</math> {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} oder {{sp}} <math>yRx</math>. || Zwischen je zwei Punkten mindestens eine Verbindung: überall Schleifen. <ref>Statt „konnex“ sind auch die Bezeichnungen „total“ oder „vergleichbar“ üblich. Mit „konnex“ wird das lateinische „conecto“ für „Verbindung“ (hier also als „verbindend“) erfasst.</ref>

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* '''Zur Beachtung:''' Die letzten drei Eigenschaften enthalten jeweils den wesentlichen Zusatz '''„in <math>M</math>“''', was bedeutet, dass eine Relation z. B. nicht per se „reflexiv“ sein kann, sondern dass dazu der Bezug auf eine konkrete Menge unverzichtbar ist. Und genau bei den ersten vier Eigenschaften ist dieser Zusatz nicht erforderlich.

* '''Zur Beachtung:''' Die letzten drei Eigenschaften enthalten jeweils den wesentlichen Zusatz '''„in <math>M</math>“''', was bedeutet, dass eine Relation z. B. nicht per se „reflexiv“ sein kann, sondern dass dazu der Bezug auf eine konkrete Menge unverzichtbar ist. Und genau bei den ersten vier Eigenschaften ist dieser Zusatz nicht erforderlich.

==Anmerkungen==

==Anmerkungen==

<references />

<references />

{{zitierhinweis}}

{{zitierhinweis|Horst Hischer}}