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Baustelle:Unendliche Objekte (Quelltext anzeigen)
Version vom 5. Februar 2015, 15:03 Uhr
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== Fernpunkte ==
== Fernpunkte ==
Fernpunkte sind Vektoren der Form <math>(x,y,0)<sup>T</sup></math>, die nicht mit Punkten der euklidischen Ebene identifizierbar sind. Um dennoch eine Interpretation herleiten zu können, werden Äquivalenzklassen betrachtet.
Fernpunkte sind Vektoren der Form (x,y,0)<sup>T</sup>, die nicht mit Punkten der euklidischen Ebene identifizierbar sind. Um dennoch eine Interpretation herleiten zu können, werden Äquivalenzklassen betrachtet.
=== Herleitung ===
=== Herleitung ===
Sei <math>P(t)=(x·t,y·t,1)<sup>T</sup></math> ein Vektor, der mittels der Dehomogenisierung[[Datei:Abbildung.png]] dem Punkt <math>(x·t,y·t)<sup>T</sup></math> der euklidischen Ebene zugeordnet werden kann. Da in der [[projektiven Geometrie]] skalare Vielfache miteinander identifiziert werden können, gilt <math>[P(t)]=[(xt,yt,1)<sup>T</sup>=(x,y,1/t)<sup>T</sup>]</math>. Der Grenzwert t→∞ entspricht hierbei - anschaulich gesprochen - folgender Situation: Der Punkt P(t) bewegt sich auf einer Geraden, deren Richtung durch x und y festgelegt ist, in der Ebene <math>z=1</math> immer weiter vom Ursprung weg.
Sei P(t)=(x·t,y·t,1)<sup>T</sup> ein Vektor, der mittels der [[Dehomogenisierung]][[Datei:Abbildung.png]] dem Punkt (x·t,y·t)<sup>T</sup> der euklidischen Ebene zugeordnet werden kann. Da in der [[projektiven Geometrie]] skalare Vielfache miteinander identifiziert werden können, gilt <math>[P(t)]=[(xt,yt,1)<sup>T</sup>=(x,y,1/t)<sup>T</sup>]</math>. Der Grenzwert t→∞ entspricht hierbei - anschaulich gesprochen - folgender Situation: Der Punkt P(t) bewegt sich auf einer Geraden, deren Richtung durch x und y festgelegt ist, in der Ebene <math>z=1</math> immer weiter vom Ursprung weg.
In Darstellung der [[homogenen Koordinaten]] gilt[[Datei:Abbildung2.png]]. Also repräsentieren alle Vektor der Form <math>(x,y,0)<sup>T</sup></math> unendlich weit entfernte Punkte, die sogenannten Fernpunkte. Diese können mit Richtungen von Geraden der euklidischen Ebene identifiziert werden, wobei andersherum für jede Geradenrichtung einen Fernpunkt existiert.
In Darstellung der [[homogenen Koordinaten]] gilt[[Datei:Abbildung2.png]]. Also repräsentieren alle Vektor der Form <math>(x,y,0)<sup>T</sup></math> unendlich weit entfernte Punkte, die sogenannten Fernpunkte. Diese können mit Richtungen von Geraden der euklidischen Ebene identifiziert werden, wobei andersherum für jede Geradenrichtung einen Fernpunkt existiert.