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===Parameter a===
 
===Parameter a===
Wenn die Vorfaktoren b=0 und c=0 sind, reduziert sich die quadratische Funktion auf die Form ax^2, so dass der Graph der Funktion eine Normalparabel mit dem Vorfaktor a beschreibt, unter anderem nach unten bzw. oben geöffnet als auch gestaucht bzw. gestreckt sein kann.[[Kategorie:Analysis]]
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Wenn die Vorfaktoren b=0 und c=0 sind, reduziert sich die quadratische Funktion auf die Form ax², so dass der Graph der Funktion eine Normalparabel mit dem Vorfaktor a beschreibt, unter anderem nach unten bzw. oben geöffnet als auch gestaucht bzw. gestreckt sein kann.[[Kategorie:Analysis]]
    
===Parameter b===
 
===Parameter b===
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==Scheitelpunkt / Scheitelpunktform==
 
==Scheitelpunkt / Scheitelpunktform==
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Der [[Scheitelpunkt]] trifft eine Aussage über die Lage einer Parabel und ist identisch mit dem [[absoluten Minimum]] (für a>0) bzw. [[absoluten Maximum]] (für a<0). Falls die Lage der Parabel bekannt ist, kann diese, sofern sie eine Normalparabel ist, mit Hilfe einer Parabelschablone in ein entsprechendes [[Koordinatensystem]] eingezeichnet werden.
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Der [[Scheitelpunkt]] trifft eine Aussage über die Lage einer [[Parabel]] und ist identisch mit dem [[absoluten Minimum]] (für a>0) bzw. [[absoluten Maximum]] (für a<0). Falls die Lage der Parabel bekannt ist, kann diese, sofern sie eine Normalparabel ist, mit Hilfe einer Parabelschablone in ein entsprechendes [[Koordinatensystem]] eingezeichnet werden.
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Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist insofern eine besondere Form, als das der Scheitelpunkt der Funktion direkt aus der Gleichung abgelesen werden kann:für f(x)=a(x+d)^2+e lautet der Scheitelpunkt S(-d;e).
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Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist insofern eine besondere Form, als das der Scheitelpunkt der Funktion direkt aus der Gleichung abgelesen werden kann:für f(x)=a(x+d)²+e lautet der Scheitelpunkt S(-d;e).
    
Da im Mathematikunterricht zumeist die quadratischen Funktionsgleichung in der Form eines Polynoms zweiten Grades dargestellt wird, lernen die SchülerInnen das Überführen der Funktionsgleichung von der Polynomform in die Scheitelpunktform mittels der [[quadratischen Ergänzung]].
 
Da im Mathematikunterricht zumeist die quadratischen Funktionsgleichung in der Form eines Polynoms zweiten Grades dargestellt wird, lernen die SchülerInnen das Überführen der Funktionsgleichung von der Polynomform in die Scheitelpunktform mittels der [[quadratischen Ergänzung]].
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==Spezialfälle quadratischer Funktionen==
 
==Spezialfälle quadratischer Funktionen==
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===y=x^2===
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===y====
 
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞
 
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞
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Graph: Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S (0;0)
 
Graph: Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S (0;0)
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===y=ax^2+c===
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===y=ax²+c===
 
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞
 
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞
   −
Wertebereich
+
Wertebereich:
   −
füra>0: c ≤ y < + ∞
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- für a>0: c ≤ y < + ∞
   −
füra<0: - ∞ < y ≤ c
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- für a<0: - ∞ < y ≤ c
    
Graph: Parabel mit dem Scheitelpunkt S (0;c)
 
Graph: Parabel mit dem Scheitelpunkt S (0;c)
   −
===y=(x+d)^2+e===
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===y=(x+d)²+e===
 
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞
 
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞
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Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞
 
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞
   −
Wertebereich: (-(p^2)/4)+q ≤ y < + ∞
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Wertebereich: ((-)/4)+q ≤ y < + ∞
   −
Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-(p/2);(-(p^2)/4)+q)
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Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-(p/2);(-()/4)+q)
    
==Nullstellen einer quadratischen Funktion==
 
==Nullstellen einer quadratischen Funktion==
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Für die quadratische Funktion f(x)=ax^2+bx+c beschreibt die Gleichung 0=ax^2+bx+c aus geometrischer Sicht die [[Nullstellen]] dieser Funktion. Die Nullstellen der quadratischen Funktion ergeben sich also aus der Lösung der dazugehrörigen [[quadratischen Gleichung]]. Zur Vereinfachung der Nullstellenberechnung wird zudem die allgemeine Form 0=ax^2+bx+c in die Normalform überführt:
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Für die quadratische Funktion f(x)=ax²+bx+c beschreibt die Gleichung 0=ax²+bx+c aus geometrischer Sicht die [[Nullstellen]] dieser Funktion. Die Nullstellen der quadratischen Funktion ergeben sich also aus der Lösung der dazugehrörigen [[quadratischen Gleichung]]. Zur Vereinfachung der Nullstellenberechnung wird zudem die allgemeine Form 0=ax²+bx+c in die Normalform überführt:
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0=x^2+px+q mit p=b/a und q=c/a.
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0=+px+q mit p=b/a und q=c/a.
    
Die Lösungsformel, auch "[[p-q-Formel]]" genannt, lautet:  
 
Die Lösungsformel, auch "[[p-q-Formel]]" genannt, lautet:  
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x<small>1</small>=-(p/2)+<math>\sqrt{(p/2)^2-q}</math>
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x<small>1</small>=-(p/2)+<math>\sqrt{(p/2)²-q}</math>
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x<small>2</small>=-(p/2)-<math>\sqrt{(p/2)^2-q}</math>.
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x<small>2</small>=-(p/2)-<math>\sqrt{(p/2)²-q}</math>.
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Der Term unter dem Wurzelzeichen D=(p/2)^2-q wird auch als [[Diskriminante]] bezeichnet. Diese gibt an, wie viel Lösungen die [[quadratische Gleichung]] und damit wie viel Nullstellen die quadratische Funktion hat.
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Der Term unter dem Wurzelzeichen D=(p/2)²-q wird auch als [[Diskriminante]] bezeichnet. Diese gibt an, wie viel Lösungen die [[quadratische Gleichung]] und damit wie viel Nullstellen die quadratische Funktion hat.
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Die Funktion f(x)=x^2+px+q hat genau zwei verschiedene und reelle Nullstellen, wenn D>0, genau eine doppelte und reelle Nullstelle ([[Scheitelpunkt]]), wenn D=0, und keine reelle Nullstelle, aber zwei verschiedene komplexe Nullstellen, wenn D<0 ist.
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Die Funktion f(x)=+px+q hat genau zwei verschiedene und reelle Nullstellen, wenn D>0, genau eine doppelte und reelle Nullstelle ([[Scheitelpunkt]]), wenn D=0, und keine reelle Nullstelle, aber zwei verschiedene komplexe Nullstellen, wenn D<0 ist.
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==didaktischer Plün==
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==didaktischer Plan==
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