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===Parameter a===

===Parameter a===

Wenn die Vorfaktoren b=0 und c=0 sind, reduziert sich die quadratische Funktion auf die Form ax^2, so dass der Graph der Funktion eine Normalparabel mit dem Vorfaktor a beschreibt, unter anderem nach unten bzw. oben geöffnet als auch gestaucht bzw. gestreckt sein kann.[[Kategorie:Analysis]]

Wenn die Vorfaktoren b=0 und c=0 sind, reduziert sich die quadratische Funktion auf die Form ax², so dass der Graph der Funktion eine Normalparabel mit dem Vorfaktor a beschreibt, unter anderem nach unten bzw. oben geöffnet als auch gestaucht bzw. gestreckt sein kann.[[Kategorie:Analysis]]

===Parameter b===

===Parameter b===

==Scheitelpunkt / Scheitelpunktform==

==Scheitelpunkt / Scheitelpunktform==

Der [[Scheitelpunkt]] trifft eine Aussage über die Lage einer Parabel und ist identisch mit dem [[absoluten Minimum]] (für a>0) bzw. [[absoluten Maximum]] (für a<0). Falls die Lage der Parabel bekannt ist, kann diese, sofern sie eine Normalparabel ist, mit Hilfe einer Parabelschablone in ein entsprechendes [[Koordinatensystem]] eingezeichnet werden.

Der [[Scheitelpunkt]] trifft eine Aussage über die Lage einer [[Parabel]] und ist identisch mit dem [[absoluten Minimum]] (für a>0) bzw. [[absoluten Maximum]] (für a<0). Falls die Lage der Parabel bekannt ist, kann diese, sofern sie eine Normalparabel ist, mit Hilfe einer Parabelschablone in ein entsprechendes [[Koordinatensystem]] eingezeichnet werden.

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist insofern eine besondere Form, als das der Scheitelpunkt der Funktion direkt aus der Gleichung abgelesen werden kann:für f(x)=a(x+d)^2+e lautet der Scheitelpunkt S(-d;e).

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist insofern eine besondere Form, als das der Scheitelpunkt der Funktion direkt aus der Gleichung abgelesen werden kann:für f(x)=a(x+d)²+e lautet der Scheitelpunkt S(-d;e).

Da im Mathematikunterricht zumeist die quadratischen Funktionsgleichung in der Form eines Polynoms zweiten Grades dargestellt wird, lernen die SchülerInnen das Überführen der Funktionsgleichung von der Polynomform in die Scheitelpunktform mittels der [[quadratischen Ergänzung]].

Da im Mathematikunterricht zumeist die quadratischen Funktionsgleichung in der Form eines Polynoms zweiten Grades dargestellt wird, lernen die SchülerInnen das Überführen der Funktionsgleichung von der Polynomform in die Scheitelpunktform mittels der [[quadratischen Ergänzung]].

==Spezialfälle quadratischer Funktionen==

==Spezialfälle quadratischer Funktionen==

===y=x^2===

===y=x²===

Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞

Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞

Graph: Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S (0;0)

Graph: Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S (0;0)

===y=ax^2+c===

===y=ax²+c===

Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞

Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞

Wertebereich

Wertebereich:

füra>0: c ≤ y < + ∞

- für a>0: c ≤ y < + ∞

füra<0: - ∞ < y ≤ c

- für a<0: - ∞ < y ≤ c

Graph: Parabel mit dem Scheitelpunkt S (0;c)

Graph: Parabel mit dem Scheitelpunkt S (0;c)

===y=(x+d)^2+e===

===y=(x+d)²+e===

Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞

Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞

Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞

Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞

Wertebereich: (-(p^2)/4)+q ≤ y < + ∞

Wertebereich: ((-p²)/4)+q ≤ y < + ∞

Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-(p/2);(-(p^2)/4)+q)

Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-(p/2);(-(p²)/4)+q)

==Nullstellen einer quadratischen Funktion==

==Nullstellen einer quadratischen Funktion==

Für die quadratische Funktion f(x)=ax^2+bx+c beschreibt die Gleichung 0=ax^2+bx+c aus geometrischer Sicht die [[Nullstellen]] dieser Funktion. Die Nullstellen der quadratischen Funktion ergeben sich also aus der Lösung der dazugehrörigen [[quadratischen Gleichung]]. Zur Vereinfachung der Nullstellenberechnung wird zudem die allgemeine Form 0=ax^2+bx+c in die Normalform überführt:

Für die quadratische Funktion f(x)=ax²+bx+c beschreibt die Gleichung 0=ax²+bx+c aus geometrischer Sicht die [[Nullstellen]] dieser Funktion. Die Nullstellen der quadratischen Funktion ergeben sich also aus der Lösung der dazugehrörigen [[quadratischen Gleichung]]. Zur Vereinfachung der Nullstellenberechnung wird zudem die allgemeine Form 0=ax²+bx+c in die Normalform überführt:

0=x^2+px+q mit p=b/a und q=c/a.

0=x²+px+q mit p=b/a und q=c/a.

Die Lösungsformel, auch "[[p-q-Formel]]" genannt, lautet:  

Die Lösungsformel, auch "[[p-q-Formel]]" genannt, lautet:  

x<small>1</small>=-(p/2)+<math>\sqrt{(p/2)^2-q}</math>

x<small>1</small>=-(p/2)+<math>\sqrt{(p/2)²-q}</math>

x<small>2</small>=-(p/2)-<math>\sqrt{(p/2)^2-q}</math>.

x<small>2</small>=-(p/2)-<math>\sqrt{(p/2)²-q}</math>.

Der Term unter dem Wurzelzeichen D=(p/2)^2-q wird auch als [[Diskriminante]] bezeichnet. Diese gibt an, wie viel Lösungen die [[quadratische Gleichung]] und damit wie viel Nullstellen die quadratische Funktion hat.

Der Term unter dem Wurzelzeichen D=(p/2)²-q wird auch als [[Diskriminante]] bezeichnet. Diese gibt an, wie viel Lösungen die [[quadratische Gleichung]] und damit wie viel Nullstellen die quadratische Funktion hat.

Die Funktion f(x)=x^2+px+q hat genau zwei verschiedene und reelle Nullstellen, wenn D>0, genau eine doppelte und reelle Nullstelle ([[Scheitelpunkt]]), wenn D=0, und keine reelle Nullstelle, aber zwei verschiedene komplexe Nullstellen, wenn D<0 ist.

Die Funktion f(x)=x²+px+q hat genau zwei verschiedene und reelle Nullstellen, wenn D>0, genau eine doppelte und reelle Nullstelle ([[Scheitelpunkt]]), wenn D=0, und keine reelle Nullstelle, aber zwei verschiedene komplexe Nullstellen, wenn D<0 ist.

==didaktischer Plün==

==didaktischer Plan==