Änderungen

Es ist möglich <math>0,9\overline{9} </math> als unendliche geometrische Reihe zu schreiben, also

Es ist möglich <math>0,9\overline{9} </math> als unendliche geometrische Reihe zu schreiben, also

<br /> <math>0,9\overline{9} = 0,99999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... = 0,9 \cdot 1+ 0,9 \cdot (1/10) + 0,9 \cdot (1/100) + ... = \sum\limits_{n=0}^{∞} 0,9\cdot\frac{1}{10}^n </math>.

<br /> <math>0,9\overline{9} = 0,99999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... = 0,9 \cdot 1+ 0,9 \cdot (1/10) + 0,9 \cdot (1/100) + ... = \sum\limits_{n=0}^{\infty} 0,9\cdot\frac{1}{10}^n </math>.

Aus der [[Analysis]] ist bekannt, dass für die Reihen <math>\sum\limits_{n=0}^{∞} 0,9\cdot\frac{1}{10}^n  = \frac{a}{1-q} </math> mit <math> 0 < q < 1 </math>. Für unseren Fall gilt also mit a = 0,9 und q = 0,1:  <math>\sum\limits_{n=0}^{∞} 0,9\cdot\frac{1}{10}^n = \frac {0,9}{1-0,1} = \frac{0,9}{0,9} = 1</math>.

Aus der [[Analysis]] ist bekannt, dass für die Reihen <math>\sum\limits_{n=0}^{\infty} 0,9\cdot\frac{1}{10}^n  = \frac{a}{1-q} </math> mit <math> 0 < q < 1 </math>. Für unseren Fall gilt also mit a = 0,9 und q = 0,1:  <math>\sum\limits_{n=0}^{\infty} 0,9\cdot\frac{1}{10}^n = \frac {0,9}{1-0,1} = \frac{0,9}{0,9} = 1</math>.

== Schülervorstellungen zu (0,9 Periode 9) ==

== Schülervorstellungen zu <math>0,9\overline{9} </math> ==

In der Studie "Mathematikunterricht, Intuition, Formalisierung: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu (0,9 Periode 9)"<ref name="bauer" /> untersuchte [[Ludwig Bauer]] die Erwartungen von Schülerinnen und Schülern (SuS) gegenüber der natürlichen Zahl (0,9 Periode 9). Dabei ergab sich insgesamt, dass 70 % der SuS die Meinung <math>0,9\overline{9} < 1</math> vertreten, lediglich 30 % entschieden sich für <math>0,9\overline{9} = 1</math>. Hieraus kann schließt er, dass der Mathematikunterricht in den untersuchten Klassen nicht verhindern konnte, dass die SuS mit großer Mehrheit für <math>0,9\overline{9} < 1</math> stimmten <ref name="bauer" />. Außerdem ist interessant, dass <math>0,9\overline{9} < 1</math> in der befragten Klassenstufe 12 mit 91 % die stärkste Zustimmung fand. Anscheinend führte sogar die bereits gelehrte [[Infinitesimalrechnung]], welche die intensive Beschäftigung mit Grenzwerten einschließt zu einer Verstärkung der Ablehnung.  

In der Studie "Mathematikunterricht, Intuition, Formalisierung: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu <math>0,9\overline{9}</math>"<ref name="bauer" /> untersuchte [[Ludwig Bauer]] die Erwartungen von Schülerinnen und Schülern (SuS) gegenüber der natürlichen Zahl <math>0,9\overline{9}</math>. Dabei ergab sich insgesamt, dass 70 % der SuS die Meinung <math>0,9\overline{9} < 1</math> vertreten, lediglich 30 % entschieden sich für <math>0,9\overline{9} = 1</math>. Hieraus kann schließt er, dass der Mathematikunterricht in den untersuchten Klassen nicht verhindern konnte, dass die SuS mit großer Mehrheit für <math>0,9\overline{9} < 1</math> stimmten <ref name="bauer" />. Außerdem ist interessant, dass <math>0,9\overline{9} < 1</math> in der befragten Klassenstufe 12 mit 91 % die stärkste Zustimmung fand. Anscheinend führte sogar die bereits gelehrte [[Infinitesimalrechnung]], welche die intensive Beschäftigung mit Grenzwerten einschließt zu einer Verstärkung der Ablehnung.  

'''Schülerargumente für <math>0,9\overline{9} < 1</math>''' <ref name="bauer" />

'''Schülerargumente für <math>0,9\overline{9} < 1</math>''' <ref name="bauer" />