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Der Dezimalbruch <math>0,9\overline{9}</math> mit der Eigenschaft <math>0,9\overline{9} = 1</math> verursacht häufig Konflikte in den Schülervorstellungen, findet aber als Zahl keine explizite Erwähnung in den Lehrplänen respektive Rahmenrichtlinien der Schulen.

Der Dezimalbruch <math>0,9\overline{9}</math> mit der Eigenschaft <math>0,9\overline{9} = 1</math> verursacht häufig Konflikte in den Schülervorstellungen, findet aber als Zahl keine explizite Erwähnung in den Lehrplänen respektive Rahmenrichtlinien der Schulen.

== Beweise für <math>0,9\overline{9} = 1</math> ==

== Beweise für <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 1</math> ==

'''Rechnerische Verfahren''' <ref name="bauer"> Bauer, Ludwig: Mathematikunterricht, Intuition, Formalisierung: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu <math>0,9\overline{9}</math>. In: Journal für Mathematikunterricht, Heft 1, 2011, 79-102 </ref>

'''Rechnerische Verfahren''' <ref name="bauer"> Bauer, Ludwig: Mathematikunterricht, Intuition, Formalisierung: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu <math>0,9\overline{9}</math>. In: Journal für Mathematikunterricht, Heft 1, 2011, 79-102 </ref>

Eine erste Variante der Behandlung der Zahl 0,99999... ist die Verwendung rechnerischer Verfahren, so kann zum Beispiel mit Hilfe der [[Bruchrechnung]] gezeigt werden, dass aus dem mathematische Zusammenhang <math> \frac{1}{9} = 0,11111... = 0,1\overline{1} </math> folgt:

Eine erste Variante der Behandlung der Zahl 0,99999... ist die Verwendung rechnerischer Verfahren, so kann zum Beispiel mit Hilfe der [[Bruchrechnung]] gezeigt werden, dass aus dem mathematische Zusammenhang <math> \textstyle \frac{1}{9} = 0,11111... = 0,1\overline{1} </math> folgt:

<br /> <math> 1 = \frac{1}{9} *9 = 0,99999... = 0,9\overline{9}</math>

<br /> <math> 1 = \frac{1}{9} \cdot 9 = 0,99999... = 0,9\overline{9}</math>

Der Beweis durch Verwendung von Gleichungen ist wie folgt möglich: Es sei

Der Beweis durch Verwendung von Gleichungen ist wie folgt möglich: Es sei

<!--[[Datei:Darstellung0.9999.png]]-->

<!--[[Datei:Darstellung0.9999.png]]-->

Der Zusammenhang kann auch anschaulich bewiesen werden. Man konstruiere einen [[Zahlenstrahl]], der den Zahlenbereich von 0 bis 1 abbildet. Man kann dort leicht die Zahl 0,9 eintragen. Daraufhin vergrößern wir den Bereich zwischen 0,9 und 1. Nun lässt sich die Zahl 0,99 eintragen. Vergrößert man nun den Bereich zwischen 0,99 bis 1 so lässt sich wiederum die Zahl 0,999 eintragen. Man sieht, dass die Glieder der Folge 0,9; 0,99; 0,999; ... also immer näher an die 1 heranrücken. Verbindet man dies mit der Überlegung, wo <math>0,9\overline{9} = 0,99999...</math>  liegen könnte , erhalten wir "anschaulich" <math>0,9\overline{9} = 1</math>.

Der Zusammenhang kann auch anschaulich bewiesen werden. Man konstruiere einen [[Zahlenstrahl]], der den Zahlenbereich von 0 bis 1 abbildet. Man kann dort leicht die Zahl 0,9 eintragen. Daraufhin vergrößern wir den Bereich zwischen 0,9 und 1. Nun lässt sich die Zahl 0,99 eintragen. Vergrößert man nun den Bereich zwischen 0,99 bis 1 so lässt sich wiederum die Zahl 0,999 eintragen. Man sieht, dass die Glieder der Folge 0,9; 0,99; 0,999; ... also immer näher an die 1 heranrücken. Verbindet man dies mit der Überlegung, wo <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 0,99999...</math>  liegen könnte , erhalten wir "anschaulich" <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 1</math>.

'''Widerspruchsbeweis''' <ref name="bauer" />

'''Widerspruchsbeweis''' <ref name="bauer" />

 

<br /> Man nehme an, dass <math> \textstyle 0,9\overline{9} < 1</math> ist. Dann gibt es ein <math> \epsilon </math>, das den Abstand von <math> \textstyle 0,9\overline{9}</math> zu 1 beschreibt.  

Man nehme an, dass <math>0,9\overline{9} < 1</math> ist. Dann gibt es ein ε, das den Abstand von <math>0,9\overline{9}</math> zu 1 beschreibt.  

Zur Veranschaulichung sei nun <math> \textstyle \epsilon = 0,000.000.001 </math>. Dann ist <math> \textstyle \epsilon = 1 - 0,9\overline{9}</math> oder anders ausgedrückt <math> \textstyle \epsilon + 0,9\overline{9} = 1</math>.

Zur Veranschaulichung sei nun <math> \epsilon = 0,000.000.001 </math>. Dann ist <math> \epsilon = 1 - 0,9\overline{9}</math> oder anders ausgedrückt <math> \epsilon + 0,9\overline{9} = 1</math>.

<br /> Andererseits gilt aber  

<br /> Andererseits gilt aber  

<br /> I  <math> \epsilon = 0,000.000.001</math>

<br /> I  <math> \epsilon = 0,000.000.001</math>

<br /> II <math>0,9\overline{9} = 0,999.999.999.999...</math>

<br /> II <math>0,9\overline{9} = 0,999.999.999.999...</math>

<br /> Mit I+II folgt <math> \epsilon + 0,9\overline{9} = 1,000.000.000.999 </math>'''>''' 1, was einen Widerspruch zur Annahme bildet.

<br /> Mit I+II folgt <math> \epsilon + 0,9\overline{9} = 1,000.000.000.999 >  1</math>, was einen Widerspruch zur Annahme bildet.

<br /> Führt man nun diesen Beweis mit ε = 10^-k mit k aus den natürlichen Zahlen, erhält man einen Widerspruch zur Annahme für alle k aus den natürlichen Zahlen. Somit war die Annahme falsch.  Da <math>0,9\overline{9} > 1</math>ausgeschlossen werden kann, stellt man fest, dass math>0,9\overline{9} = 1</math> ist. Es gibt also kein Abstand ε zwischen math>0,9\overline{9} </math>und 1, egal wie klein er gewählt wird.

<br /> Führt man nun diesen Beweis mit <math> \epsilon = 10^{-k} </math> mit k aus den natürlichen Zahlen, erhält man einen Widerspruch zur Annahme für alle k aus den natürlichen Zahlen. Somit war die Annahme falsch.  Da <math>0,9\overline{9} > 1</math>ausgeschlossen werden kann, stellt man fest, dass <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 1</math> ist. Es gibt also kein Abstand <math> \epsilon </math> zwischen <math> \textstyle 0,9\overline{9} </math>und 1, egal wie klein er gewählt wird.

'''Beweise mit unendlichen geometrischen Reihen''' <ref name="Vogel"> Danckwerts, Rainer; Vogel, Danckwart: "Analysis verständlich unterrichten" Spektrum Akademischer Verlag, 1. Auflage, Berlin Heidelberg 2006</ref>

'''Beweise mit unendlichen geometrischen Reihen''' <ref name="Vogel"> Danckwerts, Rainer; Vogel, Danckwart: "Analysis verständlich unterrichten" Spektrum Akademischer Verlag, 1. Auflage, Berlin Heidelberg 2006</ref>

Es ist möglich <math>0,9\overline{9} </math> als unendliche geometrische Reihe zu schreiben, also

Es ist möglich <math> \textstyle 0,9\overline{9} </math> als unendliche geometrische Reihe zu schreiben, also

<br /> <math>0,9\overline{9} = 0,99999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... = 0,9 \cdot 1+ 0,9 \cdot (1/10) + 0,9 \cdot (1/100) + ... = \sum\limits_{n=0}^{\infty} 0,9\cdot\frac{1}{10}^n </math>.

<br /> <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 0,99999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... = 0,9 \cdot 1+ 0,9 \cdot (1/10) + 0,9 \cdot (1/100) + ... = \textstyle \sum\limits_{n=0}^{\infty} 0,9\cdot\frac{1}{10}^n </math>.

Aus der [[Analysis]] ist bekannt, dass für die Reihen <math>\sum\limits_{n=0}^{\infty} 0,9\cdot\frac{1}{10}^n  = \frac{a}{1-q} </math> mit <math> 0 < q < 1 </math>. Für unseren Fall gilt also mit a = 0,9 und q = 0,1:  <math>\sum\limits_{n=0}^{\infty} 0,9\cdot\frac{1}{10}^n = \frac {0,9}{1-0,1} = \frac{0,9}{0,9} = 1</math>.

Aus der [[Analysis]] ist bekannt, dass für die Reihen <math> \textstyle \sum\limits_{n=0}^{\infty} 0,9\cdot\frac{1}{10}^n  = \textstyle \frac{a}{1-q} </math> mit <math> 0 < q < 1 </math>. Für unseren Fall gilt also mit a = 0,9 und q = 0,1:   

<br/> <math>\sum\limits_{n=0}^{\infty} 0,9\cdot\frac{1}{10}^n = \frac {0,9}{1-0,1} = \frac{0,9}{0,9} = 1</math>.

== Schülervorstellungen zu <math>0,9\overline{9} </math> ==

== Schülervorstellungen zu <math> \textstyle 0,9\overline{9} </math> ==

In der Studie "Mathematikunterricht, Intuition, Formalisierung: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu <math>0,9\overline{9}</math>"<ref name="bauer" /> untersuchte [[Ludwig Bauer]] die Erwartungen von Schülerinnen und Schülern (SuS) gegenüber der natürlichen Zahl <math>0,9\overline{9}</math>. Dabei ergab sich insgesamt, dass 70 % der SuS die Meinung <math>0,9\overline{9} < 1</math> vertreten, lediglich 30 % entschieden sich für <math>0,9\overline{9} = 1</math>. Hieraus kann schließt er, dass der Mathematikunterricht in den untersuchten Klassen nicht verhindern konnte, dass die SuS mit großer Mehrheit für <math>0,9\overline{9} < 1</math> stimmten <ref name="bauer" />. Außerdem ist interessant, dass <math>0,9\overline{9} < 1</math> in der befragten Klassenstufe 12 mit 91 % die stärkste Zustimmung fand. Anscheinend führte sogar die bereits gelehrte [[Infinitesimalrechnung]], welche die intensive Beschäftigung mit Grenzwerten einschließt zu einer Verstärkung der Ablehnung.  

In der Studie "Mathematikunterricht, Intuition, Formalisierung: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu <math>0,9\overline{9}</math>"<ref name="bauer" /> untersuchte [[Ludwig Bauer]] die Erwartungen von Schülerinnen und Schülern (SuS) gegenüber der natürlichen Zahl <math> \textstyle 0,9\overline{9}</math>. Dabei ergab sich insgesamt, dass 70 % der SuS die Meinung <math> \textstyle 0,9\overline{9} < 1</math> vertreten, lediglich 30 % entschieden sich für <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 1</math>. Hieraus kann schließt er, dass der Mathematikunterricht in den untersuchten Klassen nicht verhindern konnte, dass die SuS mit großer Mehrheit für <math> \textstyle 0,9\overline{9} < 1</math> stimmten <ref name="bauer" />. Außerdem ist interessant, dass <math> \textstyle 0,9\overline{9} < 1</math> in der befragten Klassenstufe 12 mit 91 % die stärkste Zustimmung fand. Anscheinend führte sogar die bereits gelehrte [[Infinitesimalrechnung]], welche die intensive Beschäftigung mit Grenzwerten einschließt zu einer Verstärkung der Ablehnung.  

'''Schülerargumente für <math>0,9\overline{9} < 1</math>''' <ref name="bauer" />

'''Schülerargumente für <math>0,9\overline{9} < 1</math>''' <ref name="bauer" />

"Es fehlt immer noch ein Stückchen"

"Es fehlt immer noch ein Stückchen"

<br />"<math>0,9\overline{9}</math> ist ganz minimal kleiner als 1"

<br />"<math> \textstyle 0,9\overline{9}</math> ist ganz minimal kleiner als 1"

<br />"Periode geht unendlich fort, wird die 1 aber nie berühren"

<br />"Periode geht unendlich fort, wird die 1 aber nie berühren"

<br />"<math>0,9\overline{9} </math> ergibt nur gerundet 1"

<br />"<math> \textstyle 0,9\overline{9} </math> ergibt nur gerundet 1"

<br />Hier kristallisieren sich verschiedene Argumentationsstrategien heraus: Viele SuS nehmen <math>0,9\overline{9}</math> und 1 als deutlich unterscheidbare Objekte wahr, anderen sehen <math>0,9\overline{9}</math> als Folge, deren Glieder sich der 1 annähern, sie aber nie erreichen. Auch wird der Bezug zu Rundungvorgängen hergestellt.

<br />Hier kristallisieren sich verschiedene Argumentationsstrategien heraus: Viele SuS nehmen <math>0,9\overline{9}</math> und 1 als deutlich unterscheidbare Objekte wahr, anderen sehen <math> \textstyle 0,9\overline{9}</math> als Folge, deren Glieder sich der 1 annähern, sie aber nie erreichen. Auch wird der Bezug zu Rundungvorgängen hergestellt.

'''Schülerargumente gegen <math>0,9\overline{9} < 1</math>'''<ref name="bauer" />

'''Schülerargumente gegen <math>0,9\overline{9} < 1</math>'''<ref name="bauer" />