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Iterative Prozesse und Folgen (Quelltext anzeigen)
Version vom 22. Januar 2013, 15:59 Uhr
, 15:59, 22. Jan. 2013Baustelle ausgeweitet
Iterative Prozesse lassen sich mittels Folgen darstellen. Dabei wird - ausgehend von einem Startwert - eine funktionale Bildungsvorschrift eingesetzt, um weitere Elemente ("Folgenglieder") zu berechnen. Jedes Folgenglied ist dabei abhängig von seinen Vorgängern. Ein Zustand des Prozesses wird modelliert, indem eine passende Anzahl Elemente der Folge berechnet werden.
Iterative Prozesse lassen sich mittels Folgen darstellen. Dabei wird - ausgehend von einem Startwert - eine funktionale Bildungsvorschrift eingesetzt, um weitere Elemente ("Folgenglieder") zu berechnen. Jedes Folgenglied ist dabei abhängig von seinen Vorgängern. Ein Zustand des Prozesses wird modelliert, indem eine passende Anzahl Elemente der Folge berechnet werden.
Diese rekursive Definition von Zahlenfolgen wird auch als rekursive oder iterative Sichtweise von Folgen bezeichnet. Durch den grundlegenden Aufbau herrscht eine große Ähnlichkeit zur Beweismethode der vollständigen Induktion. In beiden Fällen wird ausgehend von einem Startwert eine rekursive Bildungsvorschrift definiert, die weitere (Folgen-)Glieder bestimmt.
Der zunehmende Einsatz von Computern und Taschenrechnern ermöglicht es iterative Prozesse bzw. rekursiv definierte Zahlenfolgen besser im Unterricht einzusetzen.
Ausserdem besteht ein enger Zusammenhang zum funktionalen Aspekt von Folgen.
==Beispiele für Verfahren==
''Heron-Verfahren''
Ein bekanntes Beispiel für iterative Prozesse ist das Heron-Verfahren zum Ziehen einer Wurzel:
Ein bekanntes Beispiel für iterative Prozesse ist das Heron-Verfahren zum Ziehen einer Wurzel:
Sei a die Zahl, deren Wurzel gezogen werden soll.
Sei a eine Zahl, deren Wurzel gezogen werden soll.
Als Startwert wird ein beliebiger, nichtnegativer Wert festgelegt. Gut funktioniert <math> \begin{eqnarray} x_0 = \frac{a + 1}{2} \end{eqnarray} </math>.
Als Startwert wird ein beliebiger, nichtnegativer Wert festgelegt. Gut funktioniert <math> \begin{eqnarray} x_0 = \frac{a + 1}{2} \end{eqnarray} </math>.
Die verwendete Bildungsvorschrift ist <math> \begin{eqnarray} x_{n+1} = \frac{x_n + \frac{a}{x_n}}{2} \end{eqnarray} </math>
Die verwendete Bildungsvorschrift ist <math> \begin{eqnarray} x_{n+1} = \frac{x_n + \frac{a}{x_n}}{2} \end{eqnarray} </math>
Ergebnis ist die Zahl, zu der die Folge konvergiert: die Wurzel von a.
'''Beispiel:'''
Sei a = 25. Als Startwert wird <math> \begin{eqnarray} x_0 = \frac{25 + 1}{2} = 13 \end{eqnarray} </math> festgelegt.
Nun werden die Glieder der Folge berechnet:
x_1 = x_0 + a/x_0 / 2 = 13 + 25/13 / 2 = 7,4615384615384615384615384615385 ist etwa 7,4615
<math> \begin{eqnarray} x_{1} = \frac{x_0 + \frac{a}{x_0}}{2} = \frac{13 + \frac{25}{13}}{2} = 7,4615384615384615384615384615385 \approx 7,4615 \\
x_{2} = \frac{x_1 + \frac{a}{x_1}}{2} = \frac{7,4615 + \frac{25}{7,4615}}{2} = 5,4060163673524090330362527641895 \approx 5,406 \\
x_{3} = \frac{5,406 + \frac{25}{5,406}}{2} = 5,0152456529781724010358860525342 \approx 5,0152 \\
x_{4} = \frac{5,0152 + \frac{25}{5,0152}}{2} = 5,0000230339767107991705216142926 \approx 5 \\
\end{eqnarray} </math>
''Euklidischer Algorithmus zur Erzeugung von Kettenbrüchen''
Eine weitere Anwendung des Euklidischen Algorithmus ist die Zerlegung von zwei Zahlen in einen Kettenbruch. Hat man zwei Zahlen a und b, so erhält man deren Kettenbruch mittels der iterativen Bildungsvorschrift <math>x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n} </math>.
'''Beispiel'''
Sei a = 27, b = 25. Wir wollen also die Kettenbruchzerlegung von <math> \begin{eqnarray} \frac{27}{25} \end{eqnarray} </math> erhalten.
<math> \begin{eqnarray} \frac{25}{27} = 1 + \frac{2}{27} = 1 + \frac{1}{\frac{27}{2}} = 1 + \frac{1}{13 + \frac{1}{2}} \end{eqnarray} </math>
==Taschenrechnereinsatz==
Folgen lassen sich mittels des Taschenrechners recht einfach darstellen. Schon mittels der <math> x^2 </math> oder der <math> \frac{1}{x} </math> Funktion der meisten Taschenrechner lassen sich einige Funktionen als Folgen darstellen.<ref name="weigbuch"> [[Hans-Georg Weigand]]: Zur Didaktik des Folgenbegriffs. BI-Wiss.-Verlag. Mannheim; Leipzig; Wien; Zürich, 1993. </ref> In den meisten modernen grafikfähigen Taschenrechnern ist zudem eine Listen-Option eingebaut. Diese ermöglicht es eine hohe Anzahl an Folgengliedern schnell zu berechnen und übersichtlich darzustellen.
==Softwareeinsatz==
Tabellenkalkulationsprogramme ermöglichen - umfangreicher als die Listenfunktionen einiger Taschenrechner - die schnelle und komfortable Berechnung, sowie Darstellung von Folgengliedern anhand einer Berechnungsvorschrift. Sie eignen sich daher gut zur Veranschaulichung, um etwa die Konvergenz einer Zahlenfolge deutlicher zu sehen. Beispiele für derartige Software sind Excel und Open Office Calc.
<ref name="weigbuch"> [[Hans-Georg Weigand]]: Zur Didaktik des Folgenbegriffs. BI-Wiss.-Verlag. Mannheim; Leipzig; Wien; Zürich, 1993. S. 30 </ref>
==Quellen==
<references />
[[Kategorie:Analysis]]
{{Zitierhinweis}}
[[Kategorie:Baustelle]]
[[Kategorie:Baustelle]]