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Iterative Prozesse und Folgen (Quelltext anzeigen)
Version vom 22. Januar 2013, 16:02 Uhr
, 16:02, 22. Jan. 2013keine Bearbeitungszusammenfassung
==Beispiele für Verfahren==
==Beispiele für Verfahren==
''Heron-Verfahren''
'''Heron-Verfahren'''
Ein bekanntes Beispiel für iterative Prozesse ist das Heron-Verfahren zum Ziehen einer Wurzel:
Ein bekanntes Beispiel für iterative Prozesse ist das Heron-Verfahren zum Ziehen einer Wurzel:
Sei a eine Zahl, deren Wurzel gezogen werden soll.
Sei a eine Zahl, deren Wurzel gezogen werden soll.
Ergebnis ist die Zahl, zu der die Folge konvergiert: die Wurzel von a.
Ergebnis ist die Zahl, zu der die Folge konvergiert: die Wurzel von a.
''Beispiel:''
Sei a = 25. Als Startwert wird <math> \begin{eqnarray} x_0 = \frac{25 + 1}{2} = 13 \end{eqnarray} </math> festgelegt.
Sei a = 25. Als Startwert wird <math> \begin{eqnarray} x_0 = \frac{25 + 1}{2} = 13 \end{eqnarray} </math> festgelegt.
Nun werden die Glieder der Folge berechnet:
Nun werden die Glieder der Folge berechnet:
\end{eqnarray} </math>
\end{eqnarray} </math>
''Euklidischer Algorithmus zur Erzeugung von Kettenbrüchen''
'''Euklidischer Algorithmus zur Erzeugung von Kettenbrüchen'''
Eine weitere Anwendung des Euklidischen Algorithmus ist die Zerlegung von zwei Zahlen in einen Kettenbruch. Hat man zwei Zahlen a und b, so erhält man deren Kettenbruch mittels der iterativen Bildungsvorschrift <math>x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n} </math>.
Eine weitere Anwendung des Euklidischen Algorithmus ist die Zerlegung von zwei Zahlen in einen Kettenbruch. Hat man zwei Zahlen a und b, so erhält man deren Kettenbruch mittels der iterativen Bildungsvorschrift <math>x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n} </math>.
''Beispiel''
Sei a = 27, b = 25. Wir wollen also die Kettenbruchzerlegung von <math> \begin{eqnarray} \frac{27}{25} \end{eqnarray} </math> erhalten.
Sei a = 27, b = 25. Wir wollen also die Kettenbruchzerlegung von <math> \begin{eqnarray} \frac{27}{25} \end{eqnarray} </math> erhalten.
<math> \begin{eqnarray} \frac{25}{27} = 1 + \frac{2}{27} = 1 + \frac{1}{\frac{27}{2}} = 1 + \frac{1}{13 + \frac{1}{2}} \end{eqnarray} </math>
<math> \begin{eqnarray} \frac{25}{27} = 1 + \frac{2}{27} = 1 + \frac{1}{\frac{27}{2}} = 1 + \frac{1}{13 + \frac{1}{2}} \end{eqnarray} </math>