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==Beispiele für Verfahren==
 
==Beispiele für Verfahren==
''Heron-Verfahren''
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'''Heron-Verfahren'''
 
Ein bekanntes Beispiel für iterative Prozesse ist das Heron-Verfahren zum Ziehen einer Wurzel:
 
Ein bekanntes Beispiel für iterative Prozesse ist das Heron-Verfahren zum Ziehen einer Wurzel:
 
Sei a eine Zahl, deren Wurzel gezogen werden soll.   
 
Sei a eine Zahl, deren Wurzel gezogen werden soll.   
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Ergebnis ist die Zahl, zu der die Folge konvergiert: die Wurzel von a.
 
Ergebnis ist die Zahl, zu der die Folge konvergiert: die Wurzel von a.
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'''Beispiel:'''
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''Beispiel:''
 
Sei a = 25. Als Startwert wird <math> \begin{eqnarray} x_0 = \frac{25 + 1}{2} = 13 \end{eqnarray} </math> festgelegt.
 
Sei a = 25. Als Startwert wird <math> \begin{eqnarray} x_0 = \frac{25 + 1}{2} = 13 \end{eqnarray} </math> festgelegt.
 
Nun werden die Glieder der Folge berechnet:
 
Nun werden die Glieder der Folge berechnet:
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\end{eqnarray} </math>
 
\end{eqnarray} </math>
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''Euklidischer Algorithmus zur Erzeugung von Kettenbrüchen''
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'''Euklidischer Algorithmus zur Erzeugung von Kettenbrüchen'''
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Eine weitere Anwendung des Euklidischen Algorithmus ist die Zerlegung von zwei Zahlen in einen Kettenbruch. Hat man zwei Zahlen a und b, so erhält man deren Kettenbruch mittels der iterativen Bildungsvorschrift <math>x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n} </math>.
 
Eine weitere Anwendung des Euklidischen Algorithmus ist die Zerlegung von zwei Zahlen in einen Kettenbruch. Hat man zwei Zahlen a und b, so erhält man deren Kettenbruch mittels der iterativen Bildungsvorschrift <math>x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n} </math>.
'''Beispiel'''
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''Beispiel''
 
Sei a = 27, b = 25. Wir wollen also die Kettenbruchzerlegung von <math> \begin{eqnarray} \frac{27}{25} \end{eqnarray} </math> erhalten.  
 
Sei a = 27, b = 25. Wir wollen also die Kettenbruchzerlegung von <math> \begin{eqnarray} \frac{27}{25} \end{eqnarray} </math> erhalten.  
 
<math> \begin{eqnarray} \frac{25}{27} = 1 + \frac{2}{27} = 1 + \frac{1}{\frac{27}{2}} = 1 + \frac{1}{13 + \frac{1}{2}} \end{eqnarray} </math>
 
<math> \begin{eqnarray} \frac{25}{27} = 1 + \frac{2}{27} = 1 + \frac{1}{\frac{27}{2}} = 1 + \frac{1}{13 + \frac{1}{2}} \end{eqnarray} </math>
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