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Eine quadratische Funktion (auch ganzrationale Funktion 2. Grades oder Polynom 2. Grades) ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt, also von der Form <math> f(x)= ax²+bx+c  </math> (mit <math> a ≠ 0 </math>) ist. Dies ist die zweite elementare Funktion, welche die SchülerInnen in der Schule kennenlernen. Der Graph ist eine Parabel mit dem [[Scheitelpunkt]] <math> S(-(b/2a);(4ac-b²)/4a) </math>. Für <math> a= 0 </math> ergibt sich eine [[Lineare Funktionen|lineare Funktion]].

Eine quadratische Funktion (auch ganzrationale Funktion 2. Grades oder Polynom 2. Grades) ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt, also von der Form <math> f(x)= ax²+bx+c  </math> (mit <math> a ≠ 0 </math>) ist. Dies ist die zweite elementare Funktion, welche die SchülerInnen in der Schule kennenlernen. Der Graph ist eine Parabel mit dem [[Scheitelpunkt]] <math> S(-\frac{b}{2a};\frac{4ac-b²}{4a}) </math>. Für <math> a= 0 </math> ergibt sich eine [[Lineare Funktionen|lineare Funktion]].

== Einfluss der Parameter <math> a </math>, <math> b </math> und <math> c </math> ==

== Einfluss der Parameter <math> a </math>, <math> b </math> und <math> c </math> ==

Definitionsbereich: <math> - ∞ < x < + ∞ </math>

Definitionsbereich: <math> - ∞ < x < + ∞ </math>

Wertebereich: <math> ((-p²)/4)+q ≤ y < + ∞ </math>

Wertebereich: <math> -\frac{p²}{4}+q ≤ y < + ∞ </math>

Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt <math> S(-(p/2);(-(p²)/4)+q) </math>

Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt <math> S(-\frac{p}{2};(-\frac{p²}{4}+q) </math>

==Nullstellen einer quadratischen Funktion==

==Nullstellen einer quadratischen Funktion==

Für die quadratische Funktion <math> f(x)=ax²+bx+c </math> beschreibt die Gleichung <math> 0=ax²+bx+c </math> aus geometrischer Sicht die [[Nullstellen]] dieser Funktion. Die Nullstellen der quadratischen Funktion ergeben sich also aus der Lösung der dazugehörigen [[quadratischen Gleichung]]. Zur Vereinfachung der Nullstellenberechnung wird zudem die allgemeine Form <math> 0=ax²+bx+c </math> in die Normalform überführt:

Für die quadratische Funktion <math> f(x)=ax²+bx+c </math> beschreibt die Gleichung <math> 0=ax²+bx+c </math> aus geometrischer Sicht die [[Nullstellen]] dieser Funktion. Die Nullstellen der quadratischen Funktion ergeben sich also aus der Lösung der dazugehörigen [[quadratischen Gleichung]]. Zur Vereinfachung der Nullstellenberechnung wird zudem die allgemeine Form <math> 0=ax²+bx+c </math> in die Normalform überführt:

<math> 0=x²+px+q </math> mit <math> p=b/a </math> und <math> q=c/a </math>.

<math> 0=x²+px+q </math> mit <math> p=\frac{b}{a} </math> und <math> q=\frac{c}{a} </math>.

Die Lösungsformel, auch "[[p-q-Formel]]" genannt, lautet:  

Die Lösungsformel, auch "[[p-q-Formel]]" genannt, lautet:  

x<small>1</small>=-(p/2)+<math>\sqrt{(p/2)²-q}</math>

x<small>1</small>=-\frac{p}{2}+<math>\sqrt{(\frac{p}{2})²-q}</math>

x<small>2</small>=-(p/2)-<math>\sqrt{(p/2)²-q}</math>.

x<small>2</small>=-\frac{p}{2}-<math>\sqrt{(\frac{p}{2})²-q}</math>.

Der Term unter dem Wurzelzeichen <math> D=(p/2)²-q </math> wird auch als [[Diskriminante]] bezeichnet. Diese gibt an, wie viel Lösungen die [[quadratische Gleichung]] und damit wie viel Nullstellen die quadratische Funktion hat.

Der Term unter dem Wurzelzeichen <math> D=(\frac{p}{2})²-q </math> wird auch als [[Diskriminante]] bezeichnet. Diese gibt an, wie viel Lösungen die [[quadratische Gleichung]] und damit wie viel Nullstellen die quadratische Funktion hat.

Die Funktion <math> f(x)=x²+px+q </math> hat genau zwei verschiedene und reelle Nullstellen, wenn <math> D>0 </math>, genau eine doppelte und reelle Nullstelle ([[Scheitelpunkt]]), wenn <math> D=0 </math>, und keine reelle Nullstelle, aber zwei verschiedene komplexe Nullstellen, wenn <math> D<0 </math> ist.

Die Funktion <math> f(x)=x²+px+q </math> hat genau zwei verschiedene und reelle Nullstellen, wenn <math> D>0 </math>, genau eine doppelte und reelle Nullstelle ([[Scheitelpunkt]]), wenn <math> D=0 </math>, und keine reelle Nullstelle, aber zwei verschiedene komplexe Nullstellen, wenn <math> D<0 </math> ist.