Spiralprinzip
Das Spiralprinzip ist ein didaktisches Prinzip, welches im Mathematikunterricht Anwendung findet. Es benennt das wiederholte Auftreten eines Lerngegenstandes, der Schülerinnen und Schülern in der Schullaufbahn mehrfach begegnet. Er kann dabei auf unterschiedlichen Ebenen durchdrungen werden. Meist steigert sich die kognitive Anforderung oder die Abstraktionsebene.
Genese
Das Prinzip lässt sich schon bei Plato finden, in dessen Ausbildungsstufen sich die verschiedenen Disziplinen zuerst auf einer handlungsorientierten und später auf einer theoretischen Ebene wiederfinden.[1] Heute wird die "Spirale" der Lehrpläne meist auf den amerikanischen Entwicklungs- und Kognitionspsychologen Jérôme S. Bruner zurückgeführt, dessen Anliegen esr war, die zentralen Inhalte auf den verschiedenen Stufen der kognitiven Entwicklung zu vermitteln. Genutzt werden dabei die unterschiedlichen Darstellungsformen (enaktiv, ikonisch, symbolisch, auch als EIS-Prinzip[2] bekannt), um unterschiedliche Zugänge zum Lerngegenstand zu bieten.[3]
Unterrichtliche Umsetzung
Der curriculare Aufbau muss bestimmte Eigenschaften erfüllen, damit das Spiralprinzip greift. Dabei sind das Anknüpfen an Vorerfahrungen und die anschlussfähige Gestaltung des Fachinhaltes von entscheidender Bedeutung. Zusätzlich kann auch eine Art Ausblick auf zukünftige Aspekte gegeben werden, selbst wenn eine vollständige Bearbeitung noch nicht erfolgt.[4] Dafür ist ein bewusstes Wiederholen zu Beginn notwendig, ferner eine langfristige Planung, wie der zunächst propädeutisch behandelte Inhalt innermathematisch aufgearbeitet werden soll. Dies bedarf eines Spiralcurriculums, das diese aufeinander aufbauenden Inhalte festhält. Der geplante Fachinhalt muss auch dahingehend analysiert werden, an welche Vorerfahrungen aus Alltag oder vorhergehendem Unterricht angeknüpft werden kann. Dabei reicht der Blick in die Lehrpläne nicht unbedingt aus, auch wenn beispielsweise auf die der Primarstufe zugegriffen wird, wenn eine Stunde für die Sekundarstufe I geplant wird. Es muss also zusätzlich immer eine Lernausgangsdiagnose erfolgen, welche in Art und Umfang variieren können. Ferner muss auch in die Zukunft geschaut werden, um zu durchdringen, welche Relevanz der Inhalt im Alltag bekommt und wie die weitere Auseinandersetzung im Unterricht gestaltet werden kann.[5] Dies zeigt auf, warum auch der Mathematiklehrende in der Grundschule lernen sollte, welche fachmathematischen Inhalte in den Sekundarstufen bearbeitet werden. Büchter (2014) fasst zusammen, dass wir im Umfeld des Mathematikunterrichts langfristig denken müssen und an wichtigen Stellen Anker setzen. Konkret ist damit gemeint, dass von Bildungsstandards und den Fachkonferenzen mit ihren schulinternen Lehrplänen der langfristige Rahmen geliefert wird, der je nach Grad der unterrichtlichen Kooperation durch die mittelfristige Planung ergänzt wird und schlussendlich in der individuellen, relativ kurzfristigen Planung einzelner Reihen und Stunden mündet. Dabei liegt es dann bei der einzelnen Lehrkraft, die langfristige Planung (über die nächste Klassenarbeit hinaus) im Blick zu behalten. Dies unterstützt das von Lerntheorien geforderte etappenweise Wiederholen und Vertiefen zum verständnisorientierten Wissensaufbau. Dafür ist es seiner Meinung nach nötig, „an zentralen Stellen Anker zu setzen“[6], also festzuhalten, was gelernt wurde, sodass darauf später zurückgegriffen werden kann. Die mögliche Vorschau wird mit der „Zone der nächsten Entwicklung“[7] nach Wygotski verstanden, sodass mit etwas Unterstützung so schon zukünftige Inhalte bearbeitet, aber unter Umständen noch nicht vollständig durchdrungen werden können. Sie bilden so das Gegenteil zum Rückschau halten.
Beispiele
Als klassisches Beispiel gilt der Zahlbegriff als solcher, welcher sich durch die verschiedenen Zahlbereichserweiterungen stets weiterentwickelt und ausdifferenziert. Dabei bleiben u.a. die Grundrechenoperationen anschlussfähig. Das Prinzip der Addition innerhalb der natürlichen Zahlen lässt sich auch in anderen Zahlbereichen nutzen, etwa in den ganzen Zahlen oder in mehrdimensionalen Vektorräumen, begleitet Schülerinnen und Schüler so durch die gesamte Schulzeit und kann darüber hinaus auch im universitären Kontext weiter fortgesetzt werden.
- Vorunterrichtliche Erfahrungen: Zählen, Zahlwörter
- Primarstufe: N (mit den verschiedenen Zahlaspekten)
- Sekundarstufe I: N, Z, Q, R
- Sekundarstufe II: R^3, Matrizenrechnung
- Studium mit naturwissenschaftlichem Inhalt: C, Gruppentheorie[8]
Es soll deutlich werden, dass der Zahlbegriff auf verschiedenen Ebenen durchdrungen werden kann, wobei sich die kognitiven Anforderungen steigern und der Grad der Anschaulichkeit abnimmt. Das Prinzip der Zahlbereichserweiterung ist dabei ein eigenes Kapitel, bei dem es wiederum wichtige Schritte gibt, um eine Einbettung in bestehende Strukturen zu ermöglichen.
Die Achsensymmetrie ist ein weiterer interessanter Aspekt der auf vielen Ebenen durchdrungen werden kann und frühkindliche Erfahrungen aufnimmt und weiterentwickelt. Beginnend mit gefalteten Klecksbildern aus dem Kindergarten, über Untersuchungen auf Symmetrieeigenschaften mit Spiegeln in der Grundschule, weiter zur Konstruktion von achsensymmetrischen Figuren und zur Ausführung von Kongruenzabbildungen in der Sekundarstufe I wird ein gemeinsamer Kern der Sache immer wieder in verschiedenen Ausprägungen durchdrungen.[9] Erneut lässt sich der Aspekt der Achsensymmetrie in der Funktionenlehre wiederfinden, wenn Funktionsgraphen bzgl. ihrer Symmetrieeigenschaften untersucht werden; dies kann dann auf algebraischer Ebene rein rechnerisch erfolgen, sodass auch hier die Darstellungsebenen nach Bruner zu finden sind.
Literatur
Büchter, Andreas: Das Spiralprinzip, Begegnen – Wiederaufgreifen – Vertiefen. In: mathematik lehren, Heft 182, Februar 2014, S. 2–9
Stampe, Eckart: Repetitorium Fachdidaktik Mathematik. Bad Heilbrunn/Obb.: Klinkhardt 1984, S. 101–103