Aussageform

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Eine Aussageform ist ein formal-sprachliches Gebilde, das mindestens eine Variable enthält und bei sinnvoller Bindung oder Belegung aller vorkommenden Variablen in eine Aussage übergeht. Beispielsweise ist [math]a^b=b^a[/math] eine Aussageform, nicht aber der Term [math](a+b)^2[/math].[1]

Grundsätzliche Möglichkeiten zur Überführung einer Aussageform in eine Aussage

Variablenbelegung

Bei der Variablenbelegung werden für die Variablen konkrete Werte eingesetzt, und die Variablen sind dann Platzhalter für solche Werte, z. B.:

  • [math]x^2+1=0[/math] ist eine Aussageform. Für [math]x[/math] können Zahlen eingesetzt werden:
    Einsetzung von [math]1[/math] führt zur falschen Aussage [math]2=0[/math], also [math]2=0\Leftrightarrow[/math] F (F ist die konstante Aussage mit dem Wahrheitswert „f“).
    Einsetzung von i (mit i[math]^2=-1[/math]) führt zur wahren Aussage [math]0=0[/math], also analog [math]0=0\Leftrightarrow[/math] W.

Variablenbindung

Die Variablenbindung findet beispielsweise mit Hilfe von Quantoren statt, indem nicht nur ein konkreter Wert für die Einsetzung angeboten wird, sondern z. B. ein ganzer Bereich. Hierfür kommen unter anderem Allquantoren und Existenzquantoren in Frage, etwa:

  • [math]P(x,y)[/math] sei eine Aussageform mit zwei Variablen (z. B. eine Gleichung oder eine Ungleichung).
    Eine mögliche Quantifizierung der Variablen [math]x[/math] ist (mit einer Menge [math]M[/math]): [math]\space\bigwedge_{x \in M}P(x,y)\space[/math] oder in anderer Schreibweise [math]\space \space\forall x \in M: \space P(x,y) \space[/math].
    Hier ist [math]x[/math] eine gebundene Variable und [math]y[/math] eine freie Variable: [math]x[/math] ist „von außen“ nicht mehr erkennbar und kann durch eine andere Variable (außer [math]y[/math]) ausgetauscht werden, hingegen kann [math]y[/math] als „außen noch erkennbare“ Variable nicht ohne Weiteres ausgetauscht werden.[2]


Literatur

  • Hischer, Horst: Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung, Wiesbaden: Springer Spektrum 2012, ISBN 978-3-8349-1888-1.
  1. Die weiteren Ausführungen folgen [Hischer 2012, 71].
  2. Das entspricht den „lokalen Variablen“ und „globalen Variablen“ bei Programmiersprachen.


Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden:
Madipedia (2018): Aussageform. Version vom 17.04.2018. In: Madipedia. URL: http://madipedia.de/index.php?title=Aussageform&oldid=29884.