Entdecken und Begründen im Mathematikunterricht – Von der Abduktion zum Argument

Michael Meyer (2006): Entdecken und Begründen im Mathematikunterricht – Von der Abduktion zum Argument. Dissertation, Westfälische Wilhelms-Universität Münster.
Begutachtet durch Jörg Voigt und Marianne Grassmann.
Tag der mündlichen Prüfung: 13.09.2006.

Zusammenfassung

Diese Dissertation nimmt das Entdecken und Begründen zum Gegenstand logischer Analysen. Schüler sollen heute mathematische Zusammenhänge nicht nur anwenden und begründen, sondern zuvor möglichst selbst entdecken. Trotz vehementer Forderungen nach einer solchen Form des Unterrichts bleiben die theoretischen Grundlagen in der Regel auf pädagogisch-psychologische Aussagen und Hypothesen beschränkt. Was aber logisch betrachtet eine „Entdeckung“ ist bzw. wie diese entsteht, bleibt zumeist unbeantwortet. Entsprechend fehlen die theoretischen Begriffe, die reale Entdeckungsprozesse analysieren lassen. Nur hinsichtlich der Analyse von Begründungen sind solche Begriffe sowohl durch mathematische Logik als auch durch die mathematikdidaktische Argumentationstheorie gegeben. In der Dissertation wurde ein Begriffsnetz zur Analyse von Entdeckungen und Begründungen sowie ihres Zusammenspiels erstellt, so dass es möglich wird,

• die Rationalität von Entdeckungen,
• die Kreativität von Entdeckungen,
• den Begründungsbedarf von Entdeckungen,
• den Geltungsanspruch von Begründungen sowie
• die Interaktionsprozesse zwischen Schülern und Lehrern

zu erfassen. Die Erstellung des Begriffsnetzes erfolgte sowohl theoretisch fundiert als auch praxisnah: Die herangezogenen philosophisch-logischen Grundlagen wurden zur Überprüfung ihrer praktischen Relevanz auf faktische Schüleräußerungen angewendet. Im Zentrum des Begriffsnetzes steht das Konzept der Abduktion des amerikanischen Philosophen Charles S. Peirce. Die Abduktion stellt neben der Deduktion und der Induktion die dritte elementare Schlussform dar. Hiermit ist es möglich den Begriff „Entdeckung“ zu schärfen und zwar so grundlegend, dass die Vielfalt dessen, was Entdecken in konkreten Beispielen sein kann, nicht eingeschränkt wird und verschiedene Entdeckungstypen begrifflich unterschieden werden. Mit dem Schema der Abduktion wird zudem ein Werkzeug für die Rekonstruktion von Entdeckungen vorgestellt und erprobt.

Im theoretischen Teil der Arbeit wird neben den einzelnen Schlussformen auch das Schema zur Argumentanalyse von Toulmin (1996) beschrieben, welches sich in der Mathematikdidaktik bereits mehrfach bewährt hat (u.a. Schwarzkopf 2000). Dieses Schema wird zudem mit den Schemata der Schlussformen nach Peirce verglichen.

Im Gegensatz zur Deduktion stellt die Abduktion einen unsicheren und somit für den Mathematiker problematischen Schluss dar. Allerdings ist dies die einzige Schlussform, welche die beim entdeckenden Lernen geforderte Generierung neuer Erkenntnisse ermöglicht, insofern nur hiermit neue Gesetze gebildet oder neue Zusammenhänge erkannt werden können. Nach dem Vollzug einer Entdeckung kann die neue Erkenntnis sowohl empirisch als auch theoretisch abgesichert werden. Die Darstellung des jeweiligen Zusammenspiels der Schlussformen bildet den Abschluss dieses Teils der Arbeit.

Der für die empirische Analyse notwendige Blickwinkel auf den Mathematikunterricht ist durch interaktionistische und ethnomethodologische Ansätze bestimmt. Zudem wird im methodischen und methodologischen Teil herausgearbeitet, dass die Abduktion nicht nur einen Forschungsgegenstand, sondern auch die notwendige Schlussform des Interpreten ist, der die Schüleräußerungen verstehen will (s. Voigt 1984, S. 83ff).

Der Unterrichtsversuch, der die empirische Materialgrundlage für die Interpretation lieferte, fand in mehreren Klassen der Stufen 4, 7 und 10 statt. In diesen Klassen wurde der Mathematikunterricht über eine Dauer von jeweils 4-5 Unterrichtsstunden mit Audio- und Videogeräten dokumentiert. Der Funktionsbegriff bildet den mathematischen Schwerpunkt der für diesen Versuch ausgewählten und konzipierten Aufgaben. Diese Schwerpunktsetzung half den Umfang des stoffdidaktischen Exkurses zu mindern.

Die Rekonstruktion der Rationalität von Schüleräußerungen erfolgt im empirischen Teil der Arbeit. Die Entdeckungen und Begründungen der Schüler werden als Abduktionen, Induktionen, Deduktionen und/oder Argumente rekonstruiert und hinsichtlich ihres Zusammenspiels analysiert. Der Leser soll jedoch nicht erwarten, dass die einzelnen Rekonstruktionen das individuelle Denken von Schülern wiederspiegeln. Die Analysen verdeutlichen vielmehr die inhärente Rationalität der von den Schülern öffentlich dargestellten Entdeckungen, ihre Plausibilität sowie die Stichhaltigkeit der folgenden Begründung.

Die Arbeit klärt also sowohl auf theoretischer als auch auf empirischer Ebene das Entdecken und das Begründen sowie deren Zusammenspiel.

Kontext

Literatur

• Meyer, M. (2007). Entdecken und Begründen im Mathematikunterricht. Von der Abduktion zum Argument. Hildesheim: Franzbecker.
• Peirce, C.S.: Collected Papers (Band I-VI hg. von C. Hartshorne und P. Weiß, 1931-1935, Band VII-VIII hg. von A.W. Burks 1985), Cambridge: Harvard University Press.
• Schwarzkopf, R. (2000). Argumentationsprozesse im Mathematikunterricht. Theoretische Grundlagen und Fallstudien. Hildesheim: Franzbecker.
• Toulmin, St. E. (1996/1958). Der Gebrauch von Argumenten. 2. Auflage. Weinheim: Beltz.
• Voigt, J. (1984). Interaktionsmuster und Routinen im Mathematikunterricht. Theoretische Grundlagen und mikroethnographische Falluntersuchungen. Weinheim: Beltz.