Lineare Funktionen

Die linearen Funktionen gehört zu den ersten elementaren Funktionen, die die Schüler/innen kennenlernen.

• Eine lineare Funktion ist eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit $f(x)=y=mx+n,$ wobei $m$ und $n$ reelle Zahlen sind. Dabei beschreiben $m$ den Anstieg und $n$ den y-Achsenabschnitt des Graphen.

• Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Anstieg (Steigung, Zuwachsrate) überall konstant ist.

Typischerweise wird die lineare Funktion in der 8. Klasse nach den proportionalen Funktionen der Form $f(x)=y=mx$ eingeführt.

Aufgabenbeispiele

Einführungsbeispiele

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die linearen Funktionen einzuführen.

1. Proportionale Zuordnung

Ausgangspunkt ist hier die proportionale Zuordnung, die bereits bekannt ist. Das Vorwissen der Schüler wird zur Einleitung verwendet, wodurch der neue Themenkomplex nicht komplett neu erscheint und bereits erlerntes Wissen mit angewendet und gleichzeitig wiederholt werden kann. Ein solches Beispiel könnte sein:

Eine Schraubenfeder wird durch Anhängen von Gewichtsstücken von je 0,5 N gedehnt. Es wird nun die Verlängerung gemessen, die die Feder durch die betreffende Belastung erfährt.

Belastung(in N)	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
Verlängerung (in cm)	4,6	9,1	13,7	18,2	22,8	27,4

Er ergibt sich folgendes Bild:

Oder man berechnet den Quotienten der einander zugeordneten Maßzahlen. Es ergibt sich hier: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 4,6:0,5=9,2; 9,1:1,0=9,1; … }

Erfasst man die jeweilige Belastung durch die Variable $x$ und die zugehörige Verlängerung durch die Variable $y$, so gilt wegen $y:x=9,1$ dann $f(x)=9,1x$.

Betrachtet man jedoch die Gesamtlänge der Feder statt nur die Verlängerung, so ergibt sich Folgendes (dabei muss beachtet werden, dass die Feder ohne Belastung 7,4 cm lang ist):

Belastung(in N)	0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
Länge (in cm)	7,4	12,0	16,5	61,1	25,6	30,2	34,8

Der Graph der Funktion $g$ ist soweit nach oben verschoben, wie es der Länge der unbelasteten Feder entspricht, also um 7,4. Daraus ergibt sich als Funktionsterm: $g(x)=9,1x+7,4$.

2. Song

Dies wäre eine willkommene Abwechslung für die Schüler. Der Song liefert alle wichtigen Zusammenhänge für lineare Funktionen. Die Lehrperson könnte ihn am Anfang einsetzen. Es könnte sein, dass es zu viel Neues ist für die Schüler. Aber die Lehrkraft könnte dann das Gehörte Stück für Stück erarbeiten und am Ende der Einheit darauf zurückkommen, denn dadurch merken es sich die Schüler eventuell besser.

Der Song ist zufinden unter: [1]

3. Alltagsbeispiel

Carmens Schultag: Carmens Schultag beginnt um 7 Uhr. Sie fährt zunächst mit dem Bus zur Schule. Um 8 Uhr beginnt der Unterricht. Von 9.30 Uhr bis 9.50 Uhr und von 11.20 Uhr bis 11.40 Uhr ist Pause. Um 13.10 Uhr endet der Unterricht. Um 14 Uhr ist Carmen wieder zu Hause.

a) Zeichne den Graphen der Zuordnung bisherige Gesamtzeit der Abwesenheit von zu Hause -> bisherige reine Unterrichtszeit.
b) Zeichne einen entsprechenden Graphen für deinen eigenen Schultag.

Diese Aufgabe beruht auf dem Alltag der Schüler. Sie können es nachvollziehen und ihre eigenen Erfahrungen mit einbringen. Natürlich kann die Lehrkraft dieses Beispiel auf die eigene Schule und die eigene Klasse anpassen. Es wird erst einmal nichts Neues gelehrt, denn auch hier geht es um den bekannten Stoff der Zuordnung.

Allgemeine Beispiele für lineare Funktionen

Am Anfang der Lehreinheit ist es wichtig, dass Schülerinnen und Schüler einen Bezug zu dem Stoff finden, und da ist der Lehrer gefragt. Dies kann z. B. mithilfe von Alltagsbeispielen gelingen. Ein häufig gewähltes Beispiel ist die Kostenfunktion – egal, ob es sich um die Handyrechnung, einen Internettarif oder den Preis für Eiskugeln handelt. Man geht von einem Grundpreis aus, doch dieser erhöht sich in einem gewissen Zeitraum um einen Betrag x.

Es gibt viele Beispiele für die Anwendung von linearen Funktionen:

Aufgabenblatt "Schlange" [2]
Aufgabenblatt "Flugzeug" [3]
Aufgabenblatt "Temperaturwechsel" [4]
Aufgabenblatt "Fallschirm" [5]
Interessante Beispiele auch in Weitendorf

Probleme mit linearen Funktionen

Ein Problem im Themengebiet der linearen Funktionen stellt die Abgrenzung von Begrifflichkeiten dar. So sind die linearen Funktionen im Bereich der reellen Zahlen zu unterscheiden von den linearen Funktionen in einem Vektorraum: Die linearen Funktionen müsste man demnach eigentlich affine Funktionen nennen, da die Linearität hier nicht zutrifft. Eine weitere Schwierigkeit stellt der Begriff des Anstiegs dar. Hierbei handelt es sich um ein sprachliches Problem, da das Wort "Anstieg" bereits auf eine aufwärts gerichtete Gerade verweist. Hier muss man also als Lehrer/in bedenken, dass die Schüler/innen zunächst annehmen, dass ein Anstieg immer positiv ist. Bei der Einführung des Begriffes sollte also gezielt darauf aufmerksam gemacht werden.

Quellen

Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden: Madipedia (2013): Lineare Funktionen. Version vom 11.03.2013. In: madipedia. URL: http://madipedia.de/index.php?title=Lineare_Funktionen&oldid=10056.