Modellbilden – eine zentrale Leitidee der Mathematik

Hans-Stefan Siller (2005): Modellbilden – eine zentrale Leitidee der Mathematik. Dissertation, Paris-Lodron-Universität Salzburg.
Betreut durch Karl Josef Fuchs .
Begutachtet durch Karl Josef Fuchs und Bernd Thaller.
Tag der mündlichen Prüfung: 29.11.2005.

Zusammenfassung

In meiner Dissertation versuche ich einen anwendungsbezogenen Zugang zur Modellbildung im Schulunterricht aufzuzeigen. Zusätzlich möchte ich aber auch die Bedeutung der Modellbildung bei innermathematischen Problemen deutlich machen. Modellbilden kommt im Mathematikunterricht eine immer zentralere Rolle zu. Dies finde ich auch unbedingt notwendig, denn somit erhalten die Schüler die Möglichkeit in ihrem Unterricht zu konstruieren und zu experimentieren. Zur Übersicht stelle ich im ersten Kapitel der Arbeit verschiedene didaktische Modelle vor und vergleiche sie untereinander:

• Modellbildung als fundamentale Idee
• Modellbildung nach Blum
• Modellbildung nach Tietze, Klika, Wolpers
• Modellbildung nach Weigand, Weller

Da die Modellbildung aber ein äußerst komplexes Gebiet ist, werden in der Arbeit ausführlich Grenzen und Möglichkeiten der mathematischen Modellierung behandelt. In den weiteren Kapiteln werden praktische Anwendungsaufgaben dargestellt. Im Kapitel „Modellbilden bei Extremwertaufgaben“ bereite ich anhand von Aufgaben, die der Erfahrungswelt der Schüler entnommen sind, die wesentlichen Punkte des Modellbildungsprozesses für Schüler und Lehrer auf. Damit sollte eine Übertragung des Modellierungsprozesses keine weiteren Schwierigkeiten bereiten. Ein anderer wichtiger Anknüpfungspunkt für Modellbildung in der Mathematik wird im Kapitel „Modellbilden im fächerübergreifenden Unterricht“ aufgegriffen. Gerade hier ergeben sich meiner Meinung nach für den Mathematiklehrer neue und sehr interessante Möglichkeiten zur fundamentalen Idee der Modellbildung. Die behandelten Unterrichtsbeispiele sind den Bereichen der Stochastischen Musik und des Weber-Fechnerschen-Gesetzes entnommen. Die nächsten Kapitel der Arbeit widmen sich innermathematischen Themen. Stetigkeit sowie die Approximation von Funktionen nehmen in der Arbeit eine zentrale Rolle ein. In diesen Abschnitten meiner Dissertation versuche ich mittels eines modifizierten Modellbildungsprozesses und des Einsatzes unterschiedlicher Computeralgebrasysteme diese, für die Schüler oft schwer zu verstehenden Themen aufzubereiten und einen altersgemäßen und sinnstiftenden Zugang aufzuzeigen. Um darzustellen, dass sich der Modellbildungsprozess sowohl in Anwendungsaufgaben, als auch in innermathematischen Aufgabenstellungen finden lässt und sich die beiden Gebiete nicht ausschließen, habe ich das Thema der Differenzen- und Differentialgleichungen zum Abschluss der Arbeit behandelt. Die Charakterisierung der einzelnen Differenzen- und Differentialgleichungen erfolgt durch Typisierung. Der Einsatz von Computeralgebrasystemen ist dabei unverzichtbar. Um den Modellbildungsschritt der Simulation bei der Beschreibung dynamischer Systeme effizient darzustellen, werden zahlreiche Beispiele auch mit Hilfe spezifischer Simulationssoftware ausgeführt.

Kontext

Literatur

• Blum, W., Törner, G.: Didaktik der Analysis, Moderne Mathematik in elementarer Darstellung 20, Vandenhoeck und Ruprecht, 1983
• Hischer, H.: Modellbildung, Computer und Mathematikunterricht, Hildesheim, Berlin, Franzbecker, 2000, S. 5-6
• Humenberger, H.; Reichel, H.-Ch.: Fundamentale Ideen der angewandten Mathematik und ihre Umsetzung im Unterricht. BI-Wiss.-Verl., Mannheim; Leipzig; Wien; Zürich, 1995
• Poltschak, A.: Interdisziplinäre Unterrichtsansätze in Musik und Mathematik: Theoretische Grundlagen und praktische Modelle (Diplomarbeit), Salzburg, 2005
• Schweiger, F.: Stetigkeit – eine ´fundamentale Idee´ der Mathematik, Mathematik im Unterricht, S. 1., 8/1984
• Siller, H.-St.: Auf Mathematica basierende Lerneinheiten zur fundamentalen Idee der Modellbildung illustriert an Extremwertbeispielen und Beispielen der Integralrechnung mit M@th Desktop. Diplomarbeit, Graz, 2002
• Siller, H.-St., Fuchs, K.J.: Modellbilden bei Extremwertaufgaben, PM, H. 2, 2004, S. 49–54
• Weigand, H.-G., Weller, H.: Das Lösen realitätsorientierter Aufgaben zu periodischen Vorgängen mit Computeralgebra. In: ZDM Heft 5, 1997, S. 162–169
• Fuchs, K.J. (Hrsg.). Modellbilden – eine zentrale Leitidee der Mathematik, 256S., ISBN: 978-3-8322-7211-1